Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-1}$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2my-2\left(m+1\right)z+m^2+2m+8=0$  là phương trình của một mặt cầu $\left(S\right)$  sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa $∆$ và cắt $\left(S\right)$  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$  và điểm $M\left(1;3;-1\right)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left(C\right)$  có tâm $J\left(a;b;c\right)$ .

Giá trị $2a+b+c$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$\left(S_1\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=16$ và  $\left(S_2\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I\left(a;b;c\right)$ . Giá trị $a+b+c$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ  $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$  làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(6;0;0\right),N\left(0;6;0\right),P\left(0;0;6\right)$ . Hai mặt cầu có phương trình $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$  và $\left(S_2\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$  cắt nhau theo đường tròn $\left(C\right)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left(C\right)$  và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$ ? 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2\left(m^2+m+2\right)x+\left(m^2-1\right)y+\left(m+2\right)z+m^2+m+1=0$

 luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là