Cho hai hàm số: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(3m^2+4m+5\right)x+2021$ và $g\left(x\right)=\left(m^2+2m+5\right)x^3-\left(2m^2+4m+9\right)x^2-3x+2$ với m là tham số. Hỏi phương trình $g\left(f\left(x\right)\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Xét phương trình g(x) = 0

Chỉ ra hàm số y= f(x) đồng biến trên R

Suy ra số nghiệm phương trình $g\left(f\left(x\right)\right)=0$

Cách giải:

Xét phương trình g(x)= 0

$\begin{array}{l}\iff \left(m^2+2m+5\right)x^3-\left(2m^2+4m+9\right)x^2-3x+2=0\\ \iff \left(m^2+2m+5\right)x^3-\left(2m^2+4m+10\right)x^2+x^2-3x+2=0\\ \iff \left(m^2+2m+5\right)x^2\left(x-2\right)+\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\\ \iff \left(x-2\right)\left[\left(m^2+2m+5\right)x^2+x-1\right]=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ \left(m^2+2m+5\right)x^2+x-1=0\left(*\right)\end{array}\right.\end{array}$

Xét (*) vì $\left\{\begin{array}{l}{m}^2+2m+5={\left(m+1\right)}^2+4>0\\ ac=-\left(m^2+2m+5\right)<0\\ \left(m^2+2m+5\right){.2}^2+2-1=4m^2+8m+21>0\end{array}\right.$ nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.

Hay g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ x=m\left(mn<0\right)\\ x=n\end{array}\right..$ Do đó  $g\left(f\left(x\right)\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=2\left(1\right)\\ f\left(x\right)=m\left(2\right)\left(mn<0\right)\\ f\left(x\right)=n\left(3\right)\end{array}\right..$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(3m^2+4m+5\right)x+2021$ ta có: $f\text{'}\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x+3m^2+4m+5.$

Ta có $\Delta {\text{'}}_{f\text{'}\left(x\right)}={\left(m+1\right)}^2-\left(3m^2+4m+5\right)=-2m^2-2m-4<0\forall m$ nên $f\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in ℝ.$

Suy ra hàm số f(x) là hàm đồng biến trên R

Do đó mỗi phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.

Vậy phương trình g(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.