Câu hỏi:

01/02/2023 176

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, $A B / / C D, A B = 2 D C, ∠ A B C = 45^{0} .$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và $S C ⊥ B C, S C = a .$ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là $α .$ Khi $α$ thay đổi, tìm $\cos α .$ để thể tích khối chóp S.ABCD có giá trị lớn nhất.

A. $\cos α = - \frac{\sqrt{6}}{3} .$

B. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Đáp án chính xác

C. $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

D. $\cos α = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải:

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S C \\ B C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S C H) \Rightarrow B C ⊥ H C .$

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C D) = B C \\ S C \subset (S B C), S C ⊥ B C (g t) \\ H C \subset (A B C D), H C ⊥ B C (c m t) \end{cases} \Rightarrow ∠ ((S B C); (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H = α .$

Xét tam giác vuông SHC ta có: $S H = S C . \sin α = a . \sin α, H C = S C . \cos α = a . \cos α$

Ta có: $\{\begin{cases} H C ⊥ S B (c m t) \\ ∠ A B C = 45^{0} (g t) \end{cases} \Rightarrow Δ B C H$ vuông cân tại $C \Rightarrow H B = H C . \sqrt{2} = a \sqrt{2} . \cos α$

$\Rightarrow A B = 2 H B = 2 a \sqrt{2} . \cos α$ và $D C = H B = a \sqrt{2} . \cos α$ .

Gọi K là trung điểm của BH ta có $C K ⊥ H B \Rightarrow C K ⊥ A B$ và $C K = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cos α$ .

$\Rightarrow S_{A B C D} = \frac{(A B + C D) . C K}{2} = \frac{2 a \sqrt{2} . \cos α + a \sqrt{2} . \cos α}{2} . \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cos α = \frac{3}{2} a^{2} \cos^{2} α .$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \sin α . \frac{3}{2} a^{2} . \cos^{2} α = \frac{1}{2} a^{3} \sin α (1 - \sin^{2} α) .$

Đặt $t = \sin α, t \in (0; 1),$ xét hàm số $f (t) = 1 - t^{3}, t \in (0; 1)$ ta có $f' (t) = 1 - 3 t^{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Vậy $V_{S . A B C D}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin α = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos α = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (do $0 < α \leq 90^{0}$ nên $\cos α > 0) .$

Chọn B.

Bình luận

Câu 1:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x - \sin x$ và $F (0) = 21.$ Tìm F(x)

A. $F (x) = x^{2} - \cos x + 20.$

B. $F (x) = x^{2} + \cos x + 20.$

C.

F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \cos x + 20.

D.

F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x + 20.

Xem đáp án » 01/02/2023 4,194

Câu 2:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x + 2}{1 - 2 x} .$

B.

y = \frac{2 x + 2}{x - 1} .

C.

y = \frac{x - 2}{1 - x} .

D. $y = \frac{x + 3}{x - 1} .$

Xem đáp án » 31/01/2023 4,145

Câu 3:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

A. $x + \frac{1}{x - 2} + C .$

B.

\frac{x^{2}}{2} + \ln |x - 2| + C .

C.

x^{2} + \ln |x - 2| + C .

D. $1 + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + C .$

Xem đáp án » 31/01/2023 3,971

Câu 4:

Tổng các nghiệm của phương trình $9^{\frac{x}{2}} + 9. {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2 x + 2} - 4 = 0$ là

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án » 01/02/2023 3,692

Câu 5:

Cho bất phương trình ${(\frac{5}{7})}^{x^{2} - x + 1} > {(\frac{5}{7})}^{2 x - 1} .$ Tập nghiệm của bất phương trình có dạng $S = (a; b) .$ Giá trị của biểu thức $A = 2 b - a$ là

A. 1.

B. 2.

C.

- 2

D. 3.

Xem đáp án » 31/01/2023 3,530

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có $f' (x) = x^{2021} {(x - 1)}^{2020} (x + 1); \forall x \in ℝ .$ Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 31/01/2023 3,091

Câu 7:

Tập xác định của hàm số $y = x^{2021}$ là

A. $[0; + \infty) .$

B. $(- \infty; 0) .$

C. $(- \infty; + \infty) .$

D. $(0; + \infty) .$

Xem đáp án » 31/01/2023 3,026

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x - \sin x$ và $F (0) = 21.$ Tìm F(x)

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

Tổng các nghiệm của phương trình $9^{\frac{x}{2}} + 9. {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2 x + 2} - 4 = 0$ là

Cho bất phương trình ${(\frac{5}{7})}^{x^{2} - x + 1} > {(\frac{5}{7})}^{2 x - 1} .$ Tập nghiệm của bất phương trình có dạng $S = (a; b) .$ Giá trị của biểu thức $A = 2 b - a$ là

Cho hàm số f(x) có $f' (x) = x^{2021} {(x - 1)}^{2020} (x + 1); \forall x \in ℝ .$ Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tập xác định của hàm số $y = x^{2021}$ là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=2x−sinx và F0=21. Tìm F(x)

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=x2−2x+1x−2

Tổng các nghiệm của phương trình 9x2+9.132x+2−4=0 là

Cho bất phương trình 57x2−x+1>572x−1. Tập nghiệm của bất phương trình có dạng S=a;b. Giá trị của biểu thức A=2b−a là

Cho hàm số f(x) có f'x=x2021x−12020x+1;∀x∈ℝ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tập xác định của hàm số y=x2021 là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x - \sin x$ và $F (0) = 21.$ Tìm F(x)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

Tổng các nghiệm của phương trình $9^{\frac{x}{2}} + 9. {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2 x + 2} - 4 = 0$ là

Cho bất phương trình ${(\frac{5}{7})}^{x^{2} - x + 1} > {(\frac{5}{7})}^{2 x - 1} .$ Tập nghiệm của bất phương trình có dạng $S = (a; b) .$ Giá trị của biểu thức $A = 2 b - a$ là

Cho hàm số f(x) có $f' (x) = x^{2021} {(x - 1)}^{2020} (x + 1); \forall x \in ℝ .$ Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tập xác định của hàm số $y = x^{2021}$ là