Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, $AB//CD,AB=2DC,\angle ABC={45}^0.$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và $SC\perp BC,SC=a.$ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là $\alpha .$ Khi $\alpha$ thay đổi, tìm $\cos \alpha .$ để thể tích khối chóp S.ABCD có giá trị lớn nhất.

Cách giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BC\perp SC\\ BC\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SCH\right)\Rightarrow BC\perp HC.$

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\cap \left(ABCD\right)=BC\\ SC\subset \left(SBC\right),SC\perp BC\left(gt\right)\\ HC\subset \left(ABCD\right),HC\perp BC\left(cmt\right)\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SBC\right);\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SC;HC\right)=\angle SCH=\alpha .$

Xét tam giác vuông SHC ta có: $SH=SC.\sin \alpha =a.\sin \alpha ,HC=SC.\cos \alpha =a.\cos \alpha$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}HC\perp SB\left(cmt\right)\\ \angle ABC={45}^0\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow \Delta BCH$ vuông cân tại $C\Rightarrow HB=HC.\sqrt{2}=a\sqrt{2}.\cos \alpha$

$\Rightarrow AB=2HB=2a\sqrt{2}.\cos \alpha$ và $DC=HB=a\sqrt{2}.\cos \alpha$.

Gọi K là trung điểm của BH ta có $CK\perp HB\Rightarrow CK\perp AB$ và $CK=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha$.

$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right).CK}{2}=\frac{2a\sqrt{2}.\cos \alpha +a\sqrt{2}.\cos \alpha }{2}.\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha =\frac{3}{2}{a}^2{\cos }^2\alpha .$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.\sin \alpha .\frac{3}{2}{a}^2.{\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}{a}^3\sin \alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right).$

Đặt $t=\sin \alpha ,t\in \left(0;1\right),$ xét hàm số $f\left(t\right)=1-t^3,t\in \left(0;1\right)$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=1-3t^2=0\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy $V_{S.ABCD}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (do $0<\alpha \le {90}^0$ nên $\cos \alpha >0).$

Chọn B.