Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên như sau:

 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Chọn A

Số nghiệm thực của phương trình $f\left(x\right)=-1$  chính là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y=f\left(x\right)$và đường thẳng $y=-1$ .

Từ hình vẽ suy ra 3   nghiệm.

   Ta có :  $g\left(x\right)=f\left(1-2x\right)+x^2-x\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=-2f\text{'}\left(1-2x\right)+2x-1$

   Đặt $t=1-2x\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=-2f^{\text{'}}\left(t\right)-t$

   $g\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=-\frac{t}{2}$

   Vẽ đường thẳng $y=-\frac{x}{2}$  và đồ thị hàm số $f\text{'}\left(x\right)$   trên cùng một hệ trục

   Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến $\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)\le 0\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)\ge -\frac{t}{2}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}-2\le t\le 0\\ t\ge 4\end{array}\right.$

    Như vậy $f^{\text{'}}\left(1-2x\right)\ge \frac{1-2x}{-2}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}-2\le 1-2x\le 0\\ 4\le 1-2x\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}\\ x\le -\frac{3}{2}\end{array}\right.$.

    Vậy hàm số $g\left(x\right)=f\left(1-2x\right)+x^2-x$  nghịch biến trên các khoảng $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ và $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)$.