Cho hai đường thẳng $d_1:y=\left(m-2\right)x+m+4$  và $d_2:y=\left(n+1\right)x-3$ .

Tìm điều kiện của m để hàm số có đồ thị $d_1$  luôn nghịch biến và điều kiện của n để hàm số có đồ thị $d_2$  luôn đồng biến.

Tìm các giá trị của m và của n để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$  cùng đi qua điểm $A\left(1;0\right)$ .

Để lợp một mái nhà bằng tôn, thợ sắt hàn khung sắt hình tam giác ABC (xem hình vẽ), biết một kích thước của khung sắt là $BC=5m$ , chiều cao khung sắt là $AH=2m$  và độ dốc mái tôn phía sau là $\angle ABC=30°$ . Tìm độ dài AB của khung sắt phía trước.

(Kết quả cuối cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn (O) (A khác B và C). Kẻ $OE\perp AB$  tại E và kẻ $OF\perp AC$  tại F, tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt CA tại D. Tia OE cắt BD tại M. Gọi I là giao điểm của BF và AO, gọi K là giao điểm của IC và OF.

Chứng minh tứ giác OEAF là hình chữ nhật và $D{B}^2=DA.DC$ .