Cho hàm số y=fx=2x3−x khi x≥1−3x+4 khi x≤1. Biết tích phân I=∫π4π3ftanxcos2xdx+∫0e−1xflnx2+1x2+1dx=ab với a,b∈ℕ và ab là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P=a+b. A. P=21. B. P=33. C. P=45. D...

Chọn A Ta có I=∫π4π3ftanxcos2xdx+∫0e−1xflnx2+1x2+1dx=J+K. +)J=∫π4π3ftanxcos2xdx. Đặt t=tanx⇒dt=1cos2xdx. Đổi cận x=π3⇒t=3;x=π4⇒t=1. Suy ra J=∫13ftdt=∫13fxdx=∫132x3−xdx=x42−x2213=3. +) K=∫0e−1xflnx2+1x2+1dx. Đặt t=lnx2+1⇒dt=2xx2+1dx⇒xx2+1dx=dt2 Đổi cận x=e−1⇒t=1;x=0⇒t=0. Suy ra K=∫01ftdt2=∫01fxdx2=∫01−3x+42dx=−34x2+2x01=54 Vậy I=J+K=3+54=174. Do đó a=17b=4⇒P=a+b=21

Câu hỏi:

19/02/2023 575

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{3} - x k h i x \geq 1 \\ - 3 x + 4 k h i x \leq 1 \end{cases}$ .

Biết tích phân $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{\cos^{2} x} d x + \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x = \frac{a}{b}$ với $a, b \in ℕ$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $P = a + b$ .

P = 21

P = 33

P = 45

P = 77

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Ta có $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{c o s^{2} x} d x + \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x=J+K$ .

+) $J = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{c o s^{2} x} d x$ . Đặt $t = \tan x \Rightarrow d t = \frac{1}{c o s^{2} x} d x$ . Đổi cận $x = \frac{π}{3} \Rightarrow t = \sqrt{3}; x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 1$ .

Suy ra $J = \int_{1}^{\sqrt{3}} f (t) d t = \int_{1}^{\sqrt{3}} f (x) d x = \int_{1}^{\sqrt{3}} (2 x^{3} - x) d x = {(\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{2}}{2})|}_{1}^{\sqrt{3}} = 3$ .

+) $K = \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x$ . Đặt $t = \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow d t = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận $x = \sqrt{e - 1} \Rightarrow t = 1; x = 0 \Rightarrow t = 0$ .

Suy ra $K = \int_{0}^{1} f (t) \frac{d t}{2} = \int_{0}^{1} f (x) \frac{d x}{2} = \int_{0}^{1} \frac{- 3 x + 4}{2} d x = {(- \frac{3}{4} x^{2} + 2 x)|}_{0}^{1} = \frac{5}{4}$

Vậy

I = J + K = 3 + \frac{5}{4} = \frac{17}{4}

. Do đó

\{\begin{cases} a = 17 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow P = a + b = 21

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên . Đồ thị hàm số y= f'(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số $y = f (x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị hàm số y = f'(x), ta thấy:

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ ,

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

$f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 1) \cup (1; 3)$ .

Ta có $y^{'} = {(f (x^{2}))}^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2})$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$f^{'} (x^{2}) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} < 0 \\ x^{2} > 3 \end{array} \Leftrightarrow x \in (- \infty; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; + \infty)$

Bảng biến thiên

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên . Đồ thị hàm số y= f'(x) như hình vẽ dưới đây: (ảnh 2)

Vậy hàm số $y = f (x^{2})$ có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 2

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{4} (a^{3})$ bằn

3 \log_{2} a

3 + \log_{4} a

\frac{3}{2} \log_{2} a

\frac{2}{3} \log_{2} a

Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 3

Một cuộn túi nilon PE gồm nhiều túi nilon như hình vẽ có lõi rỗng là một hình trụ bán kính đáy của phần lõi là $r = 1, 5 c m$ , bán kính đáy của cuộn nilon là $R = 3 c m$ . Biết chiều dày mỗi lớp nilon là $0, 05 m m$ , chiều dài của mỗi túi nilon là 25cm . Số lượng túi nilon trong cuộn gần bằng

A. 512.

B. 286.

C. 1700.

D. 169.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng (P) tại A, Mthuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

\sqrt{2}

B. 2.

\sqrt{3}

D. 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z + 8)}^{2} = 25.$ Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

A. $I (5; 7; 8), R = 5$

B. $I (5; - 7; 8), R = 5$

I (5; 7 -; 8), R = 5

I (5; - 7; - 8), R = 25

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ trên khoảng $(2; + \infty)$ là

A. $x + 2 \ln (x - 2) + C$ .

B. $x - 2 \ln (x - 2) + C$ .

x - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + C

x + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + C

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $(S_{1}) : {(x + 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ , $(S_{2}) : {(x + 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 36$ và điểm A(4;0;0). Đường thẳng $Δ$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $(S_{1})$ , đồng thời cắt $(S_{2})$ tại hai điểm B,C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

24 \sqrt{5}

B. 48.

C. 72.

28 \sqrt{5}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y=fx=2x3−x khi x≥1−3x+4 khi x≤1. Biết tích phân I=∫π4π3ftanxcos2xdx+∫0e−1xflnx2+1x2+1dx=ab với a,b∈ℕ và ab là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P=a+b.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên . Đồ thị hàm số y= f'(x) như hình vẽ dưới đây:

Với a là số thực dương tùy ý, log4a3 bằn

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ:x+31=y−11=z+24 và mặt phẳng P:x+y−2z+6=0. Biết ∆ cắt mặt phẳng (P) tại A, Mthuộc ∆ sao cho AM=23. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:(x−5)2+(y−7)2+(z+8)2=25. Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx=xx−2 trên khoảng 2;+∞ là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{4} (a^{3})$ bằn

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng (P) tại A, Mthuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z + 8)}^{2} = 25.$ Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ trên khoảng $(2; + \infty)$ là