Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x^3-xkhix\ge 1\\ -3x+4khix\le 1\end{array}\right.$.

Biết tích phân $I=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{f\left(\tan x\right)}{{\cos }^{2}x}dx+\underset{0}{\overset{\sqrt{e-1}}{\int }}\frac{xf\left(\ln \left(x^2+1\right)\right)}{x^2+1}dx=\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $P=a+b$.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên . Đồ thị hàm số y= f'(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số $y=f\left(x^2\right)$ có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_4\left(a^3\right)$ bằn

Một cuộn túi nilon PE gồm nhiều túi nilon như hình vẽ có lõi rỗng là một hình trụ bán kính đáy của phần lõi là $r=1,5cm$, bán kính đáy của cuộn nilon là $R=3cm$. Biết chiều dày mỗi lớp nilon là $0,05mm$, chiều dài của mỗi túi nilon là 25cm . Số lượng túi nilon trong cuộn gần bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+6=0$. Biết $∆$ cắt mặt phẳng (P) tại A, Mthuộc $∆$ sao cho $AM=2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{(x-5)}^2+{(y-7)}^2+{(z+8)}^2=25.$ Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x+4\right)}^2+y^2+z^2=16$, $\left(S_2\right):{\left(x+4\right)}^2+y^2+z^2=36$ và điểm A(4;0;0). Đường thẳng $\Delta$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left(S_1\right)$, đồng thời cắt $\left(S_2\right)$ tại hai điểm B,C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2-\cos x$ tương ứng là: