Câu hỏi:

12/07/2024 4,721

Cho $∆$ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh A, E, D thẳng hàng và BCED là hình thang.

b) Chứng minh $BD . CE = \frac{{DE}^{2}}{4}$ .

c) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính DE và diện tích $∆$ DHE.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC. (ảnh 1)

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên $Δ A D H$ cân tại A

$Δ A D H$ có AB là đường cao đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \hat{DAB} = \hat{HAB}$

Tương tự với $Δ A H E \Rightarrow \hat{HAC} = \hat{EAC}$

Ta có :

$\hat{DAE} = (\hat{DAH}) + (\hat{HAE}) = 2. (\hat{BAH}) + 2. (\hat{HAC}) = 2. (\hat{BAH} + \hat{HAC}) = 2.90 = 180⇒$ D, A, E thẳng hàng

Nhận thấy

$Δ A H C$ đối xứng với $Δ A E C$ qua đoạn thẳng AC $\Rightarrow \hat{AHC} = \hat{AEC} {= 90}^{0}$ (1)

Tương tự , ta cũng có : $\hat{BHA} = \hat{BDA} {= 90}^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : $Δ B H A$ đồng dạng với $Δ A H C$

Suy ra tỷ lệ $\frac{BH}{AH} = \frac{AH}{HC} \Leftrightarrow {AH}^{2} = BH . HC$

Mà BH = BD , HC = CE

$\Rightarrow {AH}^{2} = BD . CE$

$\Leftrightarrow {4AH}^{2} = 4BD . CE$

$\Leftrightarrow {(2AH)}^{2} = 4BD . CE$ (Do AD = AH = AE)

$\Leftrightarrow {DE}^{2} = 4BD . CE$ .

c) Ta có: AD = AH (tính chất đối xứng), AH = AE (tính chất đối xứng)

Suy ra AD = AE mà A, D, E thẳng hàng nên A là trung điểm của DE.

Xét tam giác vuông ABC, vuông tại A, có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} = \frac{25}{144} \Rightarrow A H = \frac{12}{5}$

$\Rightarrow A D = A E = A H = \frac{12}{5}$

⇒ DE = $\frac{24}{5}$ cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\tan \hat{A B C} = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3} \Rightarrow \sin \hat{A B C} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin \hat{A D H} = \frac{4}{5}$

Xét tam giác DHE vuông tại H, có:

$\sin \hat{A D H} = \frac{E H}{E D} = \frac{E H}{\frac{24}{5}} = \frac{4}{5} \Rightarrow E H = \frac{96}{25} \Rightarrow D H = \frac{72}{25}$

Vậy diện tích tam giác DEH là: $\frac{1}{2} D H . E H = \frac{1}{2} . \frac{96}{25} . \frac{72}{25} \approx 5, 5$ (đvdt).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh đẳng thức : tan²x - sin²x = tan²x . sin²x

Xem đáp án

Lời giải

${tan}^{2} {x - sin}^{2} x = \frac{{sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} {- sin}^{2} {x = sin}^{2} x . (\frac{1}{{cos}^{2} x} - 1) {= sin}^{2} x . \frac{{sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} {= tan}^{2} {x . sin}^{2} x$

Câu 2

Cho $Δ A B C$ cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của $\hat{B A C}$ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $ΔBKM = ΔCKN$ từ đó suy ra KC vuông góc với AN

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. (ảnh 1)

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB (gt), nên suy ra

2AB – BM + CN = 2AB ⇔ – BM + CN = 0 ⇔ BM = CN.

Vậy BM = CN (đpcm).

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

$\hat{M E B} = \hat{A C B}$ (hai góc đồng vị) nên ∆BME cân tại M ⇒ BM = ME mà BM = CN nên ME = CN.

$\hat{CNI} = \hat{IME}$ (hai góc so le trong)

$\hat{MEI} = \hat{NCI}$ (hai góc so le trong)

Ta chứng minh được $ΔMEI = ΔNCI (g . c . g)$

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt),

$\hat{MIK} = \hat{NIK} {= 90}^{0}$

IK là cạnh chung. Do đó $\hat{BAK} = \hat{CAK}$

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt), $\hat{BAK} = \hat{CAK}$ (do BK là tia phân giác của $\hat{B A C}$ ), AK là cạnh chung, do đó $ΔABK = ΔACK(c . g . c)$

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó

Δ BKM = Δ CKN(c . c . c)

suy ra

\hat{MBK} = \hat{KCN}

. Mà

\hat{MBK} = \hat{ACK} \Rightarrow \hat{ACK} = \hat{KCN} {= 180}^{0} {: 2 = 90}^{0} \Rightarrow KC ⊥ AN.

(đpcm)

Câu 3

Cho $∆$ ABC có trọng tâm G. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Hãy phân tích các vecto AI, AG, DE, DC theo hai vecto AE, AF.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $∆$ ABC cân tại A ( $\hat{A} < 90^{\circ}$ ). Vẽ BH $⊥$ AC, CK $⊥$ AB.

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh BIC cân.

c) Chứng minh HI là tia phân giác của A

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Chứng minh $\frac{2a - 3b}{2a + 3b} = \frac{2c - 3d}{2c + 3d}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $∆$ ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH $⊥$ BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔHBE.

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) EK = EC.

d) AE < EC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC. a) Chứng minh A, E, D thẳng hàng và BCED là hình thang. b) Chứng minh BD . CE = DE24. c) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính DE và diện tích ∆DHE.

Chứng minh đẳng thức : tan2x - sin2x = tan2x . sin2x

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Hãy phân tích các vecto AI, AG, DE, DC theo hai vecto AE, AF.

Cho ∆ABC cân tại A (A^<90∘). Vẽ BH ⊥ AC, CK ⊥AB. a) Chứng minh rằng AH = AK. b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh BIC cân. c) Chứng minh HI là tia phân giác của A

Cho ∆ABC cân tại A (A^<90∘). Vẽ BH ⊥ AC, CK ⊥AB.

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh BIC cân.

c) Chứng minh HI là tia phân giác của A

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR ab + c - a + ba + c - b + ca + b - c≥3

Cho ab = cd. Chứng minh 2a - 3b2a + 3b = 2c - 3d2c + 3d

Cho ∆ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng: a) ΔABE = ΔHBE. b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c) EK = EC. d) AE < EC.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh đẳng thức : tan²x - sin²x = tan²x . sin²x

Cho $∆$ ABC có trọng tâm G. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Hãy phân tích các vecto AI, AG, DE, DC theo hai vecto AE, AF.

Cho $∆$ ABC cân tại A ( $\hat{A} < 90^{\circ}$ ). Vẽ BH $⊥$ AC, CK $⊥$ AB.

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh BIC cân.

c) Chứng minh HI là tia phân giác của A

Cho $∆$ ABC cân tại A ( $\hat{A} < 90^{\circ}$ ). Vẽ BH $⊥$ AC, CK $⊥$ AB.

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$

Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Chứng minh $\frac{2a - 3b}{2a + 3b} = \frac{2c - 3d}{2c + 3d}$

Cho $∆$ ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH $⊥$ BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔHBE.

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) EK = EC.

d) AE < EC.