Câu hỏi:

26/02/2023 289

Cho hình chóp $S . A B C$ có các cạnh $A B = a$ , $A C = a \sqrt{3}$ , $S B > 2 a$ và góc $∠ A B C = ∠ B A S = ∠ B C S = 90^{0}$ . Biết sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(S A C)$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{11}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Media VietJack

Gọi I là trung điểm SB, ta có

I A = I B = I C (= I S)

. Gọi O là trung điểm AC, vì tam giác ABCvuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra

I O ⊥ (A B C)

Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, khi đó

I O ∥ S D

nên

S D ⊥ (A B C D)

. Đặt

S D = h

. Hạ

D E ⊥ A C, D K ⊥ S E

, khi đó

D K = d (D, (S A C))

. Ta có

\frac{1}{D K^{2}} = \frac{1}{S D^{2}} + \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} \Rightarrow D K^{2} = \frac{2 a^{2} h^{2}}{2 a^{2} + 3 h^{2}}

Hạ

B J ⊥ (S A C)

suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)
là góc

∠ B S J

. Ta có

\sin ∠ B S J = \frac{B J}{S B} = \frac{\sqrt{11}}{11} \Leftrightarrow \frac{B J^{2}}{S B^{2}} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow \frac{B J^{2}}{h^{2} + 3 a^{2}} = \frac{1}{11} \Rightarrow B J^{2} = \frac{h^{2} + 3 a^{2}}{11}

Ta thấy

d (D, (S A C)) = d (B, (S A C)) \Rightarrow D K = B J

. Do đó

\frac{2 a^{2} h^{2}}{2 a^{2} + 3 h^{2}} = \frac{h^{2} + 3 a^{2}}{11} \Leftrightarrow (h^{2} + 3 a^{2}) (2 a^{2} + 3 h^{2}) = 22 a^{2} h^{2}

\Leftrightarrow 3 h^{4} - 11 a^{2} h^{2} + 6 a^{4} = 0

\Leftrightarrow h^{2} = 3 a^{2}

hoặc

h^{2} = \frac{2}{3} a^{2}

Trong tam giác vuông SBD có

S B > 2 a

B D = a \sqrt{3}

nên

S D > a

, hay

h > a

. Suy ra

h = a \sqrt{3}

.Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S D . S_{A B C} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} (\frac{1}{2} a . a \sqrt{2}) = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (3 m + 2) x+ 1$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đã cho nghich biến trên R?

A. $- 2 \leq m \leq - 1$

B. $[\begin{array}{l} m > - 1 \\ m < - 2 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m \geq - 1 \\ m \leq - 2 \end{array}$

D. $- 2 < m < 1$

Lời giải

Để hàm số đã cho nghich biến trên R khi

y' = - x^{2} + 2 m x + (3 m + 2) \leq 0, \forall x

Δ' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1

Chọn đáp án A.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2$ và $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng $x = 2$ và $x = - 2$ .

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng

y = 2

và

y = - 2

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2 \overset{}{\to} y = 2

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2 \overset{}{\to} y = - 2

đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d : y = 2 x - 3.$ Đường thẳng d cắt $(C)$ tại hai điểm A và B. Khoảng cách giữa A và B là

A. $A B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

B. $A B = \frac{5}{2}$

C. $A B = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$

D. $A B = \frac{2}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = (m^{2} - 4) x^{4} + (m^{2} - 25) x^{2} + m - 3$ có 3 cực trị.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm $y = \frac{(m + 1) x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 5}{3 x + 1}$ có đồ thị (C) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên. Tính số phần tử của S.

A. 15

B. 3

C. 2

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng $y = x - 1$ là:

A. $(- 1; 0), (0; 1) .$

B. $(- 1; 0), (0; - 1) .$

C. $(1; 0) .$

D. $(1; 0), (0; - 1) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử