Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x²[f (x − 1)]⁴ là:

Ta có:

g(x) = x²[f (x − 1)]⁴

=> g '(x) = 2x[f (x − 1)]⁴ + 4x²f '(x − 1)[f (x − 1)]³

<=> g '(x) = 2x[f (x − 1)]³[f (x − 1) + 2xf '(x − 1)] = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ f\left(x-1\right)=0\\ f\left(x-1\right)+2x{f}^{\text{'}}\left(x-1\right)=0\end{array}\right.$

Đặt t = x − 1 => x = t + 1

Xét phương trình f (x − 1) = 0 <=> f (t) = 0

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1 nên phương trình f (x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Xét phương trình f (x − 1) + 2xf '(x − 1) = 0

=> f (t) + 2(t + 1)f '(t) = 0 (*)

Dựa vào BBT ta thấy:

f (x) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt f (x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm (−1; 3), (0; −1), (1; 3) và có ba điểm cực trị x = 0, x = ±1 nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ a+b+c=3\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=-1\\ a+b+c=3\\ 4a+2b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=8\\ c=-1\end{array}\right.$

=> f (x) = −4x⁴ + 8x² − 1 => f '(x) = −16x³ + 16x.

Thay vào (*) ta có:

−4t⁴ + 8t² − 1 + 2(t + 1)( −16t³ + 16t) = 0

<=> −4t⁴ + 8t² − 1 − 32t⁴ + 32t² − 32t³ + 32t = 0

<=> −36t⁴ − 32t³ + 40t² + 32t − 1 = 0

Xét hàm số h (t) = −36t⁴ − 32t³ + 40t² + 32t − 1 ta có:

h '(t) = − 144t³ − 96t² + 80t + 32

Ta có: $h^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{2}{3}\\ t=\frac{-1}{3}\\ t=-1\end{array}\right.$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình h (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1

=> Phương trình f (x − 1) − 2xf '(x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Do đó, phương trình g '(x) = 0 có tất cả 9 nghiệm phân biệt.