Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm.

a) Giải ∆ABC.

b) Gọi I là trung điểm của BC, vẽ AH ⊥ BC. Tính AH, AI.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AI. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xy tại điểm M, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt xy tại điểm N. Chứng minh \[MB\,\,.\,NC = \frac{{B{C^2}}}{4}\].

Lời giải

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC = \[\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5\] (cm)

sin\[\widehat B\] = \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\] ⇒ \[\widehat B \approx 53^\circ \]

\[\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 37^\circ \]

b) Vì AI là trung tuyến ứng ch BC nên AI = \[\frac{1}{2}\]BC = 2,5 (cm)

AH. BC = AB . AC ⇒ AH = \[\frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{5}\](cm)

c) Xét ∆AMI và ∆BMI có:

IA = IB

\[\widehat {IAM} = \widehat {IAM} = 90^\circ \]

IM chung

Do đó ∆AMI = ∆BMI (cạnh huyền – góc vuông)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\\widehat {AIM} = \widehat {BIM}\end{array} \right.\]  (các cạnh và các góc tương ứng).

Do đó IN là phân giác của \[\widehat {AIC}\].

Do \[\widehat {AIB} + \widehat {AIC}\]= 180° nên IM ⊥ IN.

Suy ra ∆IMN vuông tại I.

Mà IA ⊥ MN

Do đó MB . NC = AM . AN = IA² = \[{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = \frac{{B{C^2}}}{4}\]