Câu hỏi:
21/03/2023 2,598Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)
Lại có OA = OB = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó MO ⊥ AB tại K và K là trung điểm AB.
b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:
\(\widehat O\) chung.
\(\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}\).
Do đó OH.OI = OM.OK.
Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:
OA2 = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy OH.OI = OA2 = OB2 (điều phải chứng minh).
c) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (giả thiết)
Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {AHI}\) (1)
Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \) (MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \).
Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Vì vậy \(\widehat {AMO} = \widehat {ABO}\) (cùng chắn ) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\).
Xét ∆IHN và ∆IKO, có:
\(\widehat I\) chung.
\(\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}\).
Do đó IH.IO = IN.IK (3)
Xét ∆AHI và ∆OBI, có:
\(\widehat I\) chung.
\(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\) (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}\).
Do đó IA.IB = IH.IO (4)
Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh SB vuông góc với BC.
d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.
Câu 3:
Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).
a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Câu 4:
Câu 5:
Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).
a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Câu 6:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.
a) Chứng minh: CO ⊥ AD.
b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.
c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.
Câu 7:
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OM // BC.
c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
về câu hỏi!