Câu hỏi:

13/07/2024 6,448

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.

a) Chứng minh: CO AD.

b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.

c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có CA, CD là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C.

Suy ra CA = CD.

Khi đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD   (1)

Lại có OA = OD = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD   (2)

Từ (1), (2), suy ra CO là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó CO AD tại I.

b) Xét ∆CED và ∆CDB, có:

\(\widehat C\) chung.

\(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CD}}{{CB}}\).

Do đó CE.CB = CD2   (3)

Xét ∆CDO vuông tại D có DI là đường cao:

CD2 = CI.CO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)    (4)

Từ (3), (4), suy ra CE.CB = CI.CO (điều phải chứng minh).

c) Ta có AH // OD (cùng vuông góc với CD) và DH // OA (cùng vuông góc với AC).

Suy ra tứ giác AHDO là hình bình hành.

Mà I là giao điểm của AD và HO.

Do đó I là trung điểm của HO.

Trên tia đối của tia AO, lấy điểm G sao cho A là trung điểm của GO.

Khi đó AI là đường trung bình của tam giác GHO.

Suy ra AI // GH.

Mà AI HO (chứng minh trên).

Do đó GH HO.

Suy ra \(\widehat {GHO} = 90^\circ \).

Vậy khi C di chuyển trên Ax thì trực tâm H của tam giác ACD di động trên đường tròn tâm A, bán kính AO cố định.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là trọng tâm của tam giác ABD.

Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Mà hình chóp S.ABD có SA = SB = SD = a (giả thiết).

Suy ra SH (ABD).

Ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ODC} = \widehat {ADO} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) (do ABCD là hình thoi nên DO là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).

Vì vậy \(\widehat {HDO} = \frac{{\widehat {ADO}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \) (do ∆ABD đều có H là trọng tâm nên DH là đường phân giác của ∆ABD).

Ta có \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).

Suy ra HD CD.

Trong (SAC): dựng HK // SA (K SC).

Trong (SHD): dựng HI SD (I SD).

Mà HD CD (chứng minh trên).

Suy ra CD (SHD).

Do đó CD HI.

Vì vậy HI (SCD).

Ta có I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H, K lên (SCD).

Do đó KI là hình chiếu vuông góc của HK lên (SCD).

Vì vậy (SA; (SCD)) = (HK; (SCD)) = (HK; KI) = \(\widehat {HKI}\).

Ta có HK // SA. Áp dụng định lí Thalet, ta được \(\frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(HK = \frac{{2a}}{3}\).

Ta có:

\(HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);

\(AH = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác SHD vuông tại H có HI là đường cao:

\[\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\].

Suy ra \(H{I^2} = \frac{{2{a^2}}}{9}\).

Do đó \(HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Tam giác HIK vuông tại I: \(\sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {HKI} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng 45°.

Do đó ta chọn phương án D.

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi N là trung điểm AC.

Do H là điểm đối xứng của B qua G.

Suy ra G là trung điểm của BH.

Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).

Suy ra GN = NH.

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].

Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP