Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.

a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh OM // BC.

c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

Lời giải

a) Ta có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {AQM} = 90^\circ \).

Do đó ba điểm A, Q, M nội tiếp đường tròn đường kính AM   (*)

Ta có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

Suy ra MA = MC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC   (1)

Lại có OA = OC = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC   (2)

Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó MO ⊥ AC tại I và I là trung điểm AC.

Suy ra \(\widehat {AIM} = 90^\circ \).

Khi đó ba điểm A, I, M nội tiếp đường tròn đường kính AM   (**)

Từ (*), (**), suy ra tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn đường kính AM.

b) Tam giác OIC vuông tại I: \(\widehat {IOC} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (3)

Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {OCB} + \widehat {ICO} = 90^\circ \)   (4)

Từ (3), (4), suy ra \(\widehat {IOC} = \widehat {OCB}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy MO // BC.

c) Ta có tứ giác AIQM nội tiếp (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {AMQ}\)   (5)

Lại có AM // CH (cùng vuông góc với AB).

Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {HNB}\) (cặp góc đồng vị)    (6)

Ta có \(\widehat {HNB} = \widehat {QNC}\) (cặp góc đối đỉnh)     (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {QNC}\).

Do đó tứ giác QINC nội tiếp được.

Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn ).

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn  của đường tròn (O)).

Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra IN // AH.

Mà I là trung điểm AC (chứng minh trên).

Khi đó N là trung điểm CH.

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CN}} = 2\).

Vậy tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).