Cho hàm số \(y = mx + 1\) (1) (với m là tham số, m ≠ 0).

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua M(–1; –1). Với m vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d): y = (m² – 2)x + 2m + 3.

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Lời giải

a) Với M(–1; –1) ∈ (1), ta có –1 = –m + 1.

Suy ra m = 2.

Khi đó y = 2x + 1.

Bảng giá trị:

b) Theo đề, ta có (1) // (d).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = {m^2} - 2\\1 \ne 2m + 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\2m \ne - 2\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\\m \ne - 1\end{array} \right.\)

Suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Thế x = 0 vào phương trình (1), ta được y = 1.

Suy ra đồ thị (1) luôn đi qua điểm A(0; 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và trục Ox: mx + 1 = 0.

\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).

Suy ra giao điểm của (1) và trục Ox là điểm \(B\left( { - \frac{1}{m};0} \right)\).

Ta có \(OA = 1,\,OB = \left| { - \frac{1}{m}} \right|\).

Kẻ OH ⊥ AB tại H.

Tam giác ABO vuông tại O có OH là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = 1 + {m^2}\)

\( \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{1}{{{m^2} + 1}}\)

Suy ra \(OH = \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\).

Theo đề, ta có khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Suy ra \(OH = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 1 = \frac{5}{4}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\) (nhận).