Câu hỏi:
21/03/2023 1,859Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB (D thuộc AB), kẻ HE vuông góc với AC (E thuộc AC).
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng HC. Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng AC // HK.
c) Chứng minh tứ giác DECK là hình thang cân.
d) Gọi O là giao điểm của DE và AH. Gọi M là giao điểm của AI và CO. Chứng minh \(AM = \frac{1}{3}AK\).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Tứ giác ADHE, có:
\[\widehat {DAE} = 90^\circ \] (do tam giác ABC vuông tại A);
\[\widehat {ADH} = 90^\circ \] (do HD ⊥ AB tại D);
\[\widehat {AEH} = 90^\circ \] (do HE ⊥ AC tại E).
Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Ta có K là điểm đối xứng của A qua I (giả thiết).
Suy ra I là trung điểm của AK.
Mà I cũng là trung điểm của HC (giả thiết).
Do đó tứ giác AHKC là hình bình hành.
Vậy AC // HK.
c) Xét ∆DHE và ∆AEH, có:
HE chung;
\(\widehat {DHE} = \widehat {AEH} = 90^\circ \);
DH = AE (ADHE là hình chữ nhật).
Do đó ∆DHE = ∆AEH (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HAE}\) (cặp cạnh tương ứng).
Mà \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\) (do tứ giác AHKC là hình bình hành).
Do đó \(\widehat {HDE} = \widehat {HKC}\).
Mà AC // DK (chứng minh trên).
Vậy tứ giác DECK là hình thang cân.
d) Tam giác ACH có các đường trung tuyến AI, CO cắt nhau tại M.
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ACH.
Do đó \(AM = \frac{2}{3}AI\).
Mà \(AI = \frac{1}{2}AK\) (do I là trung điểm AK).
Suy ra \(AM = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\).
Vậy \(AM = \frac{1}{3}AK\).
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh SB vuông góc với BC.
d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.
Câu 3:
Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).
a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Câu 4:
Câu 5:
Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).
a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Câu 6:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.
a) Chứng minh: CO ⊥ AD.
b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.
c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.
Câu 7:
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OM // BC.
c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
về câu hỏi!