Câu hỏi:
13/07/2024 353
Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} - 3\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Đặt t = x + y (t ≥ 2).
Theo đề, ta có 3(x + y) = 4xy. Suy ra \(xy = \frac{{3t}}{4}\).
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y)2 ≥ 4xy.
⇔ (x + y)2 ≥ 3(x + y) (theo giả thiết).
⇔ (x + y)2 – 3(x + y) ≥ 0.
⇔ (x + y)(x + y – 3) ≥ 0.
⇔ x + y – 3 ≥ 0.
⇔ x + y ≥ 3.
⇔ t ≥ 3.
Mặt khác, vì x, y ≥ 1 nên ta có (x – 1)(y – 1) ≥ 0.
⇔ xy – (x + y) + 1 ≥ 0.
\( \Leftrightarrow \frac{{3t}}{4} - t + 1 \ge 0\)
⇔ t ≤ 4.
Vì vậy ta có 3 ≤ t ≤ 4.
Theo đề, ta có 3(x + y) = 4xy.
\( \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{4}{3}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3}\).
Ta có \(P = {x^3} + {y^3} - 3\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3\left[ {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2} - \frac{2}{{xy}}} \right]\)
\( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)^2} + \frac{6}{{xy}}\)
\( = {t^3} - 3.\frac{{3t}}{4}.t - 3{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{{6.4}}{{3t}} = {t^3} - \frac{9}{4}{t^2} - \frac{{16}}{3} + \frac{8}{t}\)
Ta có \(P'\left( t \right) = 3{t^2} - \frac{9}{2}t - \frac{8}{{{t^2}}} = \frac{1}{{2{t^2}}}\left( {6{t^4} - 9{t^3} - 16} \right)\)
\( = \frac{1}{{2{t^2}}}\left[ {{t^3}\left( {5t - 9} \right) + \left( {{t^4} - 16} \right)} \right] > 0,\,\forall t \in \left[ {3;4} \right]\).
Suy ra hàm số P(t) đồng biến trên [3; 4].
Vậy:
⦁ Giá trị nhỏ nhất của P là \(P\left( 3 \right) = \frac{{49}}{{12}}\) khi t = 3 \( \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{2}\).
⦁ Giá trị lớn nhất của P là \(P\left( 4 \right) = \frac{{74}}{3}\) khi t = 4 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \wedge y = 3\\x = 3 \wedge y = 1\end{array} \right.\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là trọng tâm của tam giác ABD.
Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).
Suy ra tam giác ABD đều.
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Mà hình chóp S.ABD có SA = SB = SD = a (giả thiết).
Suy ra SH ⊥ (ABD).
Ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Khi đó \(\widehat {ODC} = \widehat {ADO} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) (do ABCD là hình thoi nên DO là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).
Vì vậy \(\widehat {HDO} = \frac{{\widehat {ADO}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \) (do ∆ABD đều có H là trọng tâm nên DH là đường phân giác của ∆ABD).
Ta có \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).
Suy ra HD ⊥ CD.
Trong (SAC): dựng HK // SA (K ∈ SC).
Trong (SHD): dựng HI ⊥ SD (I ∈ SD).
Mà HD ⊥ CD (chứng minh trên).
Suy ra CD ⊥ (SHD).
Do đó CD ⊥ HI.
Vì vậy HI ⊥ (SCD).
Ta có I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H, K lên (SCD).
Do đó KI là hình chiếu vuông góc của HK lên (SCD).
Vì vậy (SA; (SCD)) = (HK; (SCD)) = (HK; KI) = \(\widehat {HKI}\).
Ta có HK // SA. Áp dụng định lí Thalet, ta được \(\frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(HK = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có:
⦁ \(HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(AH = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Tam giác SHD vuông tại H có HI là đường cao:
\[\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\].
Suy ra \(H{I^2} = \frac{{2{a^2}}}{9}\).
Do đó \(HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Tam giác HIK vuông tại I: \(\sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {HKI} = 45^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng 45°.
Do đó ta chọn phương án D.
Lời giải
Lời giải
a) Gọi N là trung điểm AC.
Do H là điểm đối xứng của B qua G.
Suy ra G là trung điểm của BH.
Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).
Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).
Suy ra GN = NH.
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].
Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận