Câu hỏi:

21/03/2023 525

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz\).

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2xy \le {x^2} + {y^2}\\2yz \le {y^2} + {z^2}\\2zx \le {z^2} + {x^2}\end{array} \right.\)

2(xy + yz + zx) ≤ 2(x2 + y2 + z2)

xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2

3(xy + yz + zx) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)

3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2

\( \Leftrightarrow xy + yz + zx \le \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{{4 + \left( {1 + {x^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {4\left( {1 + {x^2}} \right)} \)

Ta có \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \frac{{2 + \sqrt {4\left( {1 + {x^2}} \right)} }}{{2x}} \le \frac{{2 + \frac{{4 + \left( {1 + {x^2}} \right)}}{2}}}{{2x}} = \frac{{4 + 4 + \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{4x}} = \frac{{9 + {x^2}}}{{4x}}\).

Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} \le \frac{{9 + {y^2}}}{{4y}}\)\(\frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le \frac{{9 + {z^2}}}{{4z}}\).

Khi đó \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le \frac{{9 + {x^2}}}{{4x}} + \frac{{9 + {y^2}}}{{4y}} + \frac{{9 + {z^2}}}{{4z}}\)

\[ = \frac{{yz\left( {9 + {x^2}} \right) + xz\left( {9 + {y^2}} \right) + xy\left( {9 + {z^2}} \right)}}{{4xyz}}\]

\[ = \frac{{9\left( {xy + yz + zx} \right) + xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{4xyz}}\]

\( \le \frac{{9.\frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3} + {{\left( {xyz} \right)}^2}}}{{4xyz}}\)

\( = \frac{{3{{\left( {xyz} \right)}^2} + {{\left( {xyz} \right)}^2}}}{{4xyz}} = \frac{{4{{\left( {xyz} \right)}^2}}}{{4xyz}} = xyz\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đổi: 4 giờ 30 phút = … giờ.

Xem đáp án » 21/03/2023 4,871

Câu 2:

Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Xem đáp án » 22/03/2023 4,535

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \)\(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

Xem đáp án » 22/03/2023 4,244

Câu 4:

Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Xem đáp án » 21/03/2023 3,650

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng

Xem đáp án » 22/03/2023 3,513

Câu 6:

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.

a) Chứng minh: CO AD.

b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.

c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.

Xem đáp án » 21/03/2023 3,109

Câu 7:

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.

a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh OM // BC.

c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

Xem đáp án » 21/03/2023 2,669

Bình luận


Bình luận