Câu hỏi:
21/03/2023 640
Giải hệ phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ):
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ):
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\) (I)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\y \ne 1\end{array} \right.\) (*)
Đặt \(a = \frac{1}{{x - 2}};\,b = \frac{1}{{y - 1}}\).
Hệ (I) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\b = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{5}\\b = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{5}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \frac{5}{7}\\y - 1 = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{19}}{7};\frac{8}{3}} \right)} \right\}\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\) (II)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{1}{2}\\y \ne 3\end{array} \right.\) (*)
Đặt \(a = \frac{1}{{2x - 1}};\,b = \frac{1}{{3 - y}}\).
Hệ (II) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = - 1\\a - 3b = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = - 1\\a = 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9b - 6b = - 1\\a = 3b\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3b = - 1\\a = 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - \frac{1}{3}\\a = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3 - y}} = - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{2x - 1}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - y = - 3\\2x - 1 = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 0\end{array} \right.\)
So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy (x; y) ∈ {(0; 6)}.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\) (III)
Điều kiện: x, y ≠ 0 (*)
Đặt \(a = \frac{1}{x};\,\,b = \frac{1}{y}\).
Hệ (III) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{4}\\10a + b = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - 10a = \frac{1}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9a = - \frac{3}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\end{array} \right.\)
So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\end{array} \right.\)
Vậy (x; y) ∈ {(12; 6)}.
d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\) (IV)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2y\\x \ne \frac{y}{2}\end{array} \right.\) (*)
Đặt \(a = \frac{1}{{2x - y}};\,b = \frac{1}{{x - 2y}}\).
Hệ (IV) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = \frac{1}{2}\\2a - b = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = \frac{1}{2}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {2a - \frac{1}{{18}}} \right) = \frac{1}{2}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a = \frac{2}{3}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = \frac{1}{9}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 12\\x - 2y = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 12\\x - 2\left( {2x - 12} \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 12\\ - 3x = - 15\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 5\end{array} \right.\)
So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 5\end{array} \right.\)
Vậy (x; y) ∈ {(5; –2)}.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là trọng tâm của tam giác ABD.
Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).
Suy ra tam giác ABD đều.
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Mà hình chóp S.ABD có SA = SB = SD = a (giả thiết).
Suy ra SH ⊥ (ABD).
Ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Khi đó \(\widehat {ODC} = \widehat {ADO} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) (do ABCD là hình thoi nên DO là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).
Vì vậy \(\widehat {HDO} = \frac{{\widehat {ADO}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \) (do ∆ABD đều có H là trọng tâm nên DH là đường phân giác của ∆ABD).
Ta có \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).
Suy ra HD ⊥ CD.
Trong (SAC): dựng HK // SA (K ∈ SC).
Trong (SHD): dựng HI ⊥ SD (I ∈ SD).
Mà HD ⊥ CD (chứng minh trên).
Suy ra CD ⊥ (SHD).
Do đó CD ⊥ HI.
Vì vậy HI ⊥ (SCD).
Ta có I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H, K lên (SCD).
Do đó KI là hình chiếu vuông góc của HK lên (SCD).
Vì vậy (SA; (SCD)) = (HK; (SCD)) = (HK; KI) = \(\widehat {HKI}\).
Ta có HK // SA. Áp dụng định lí Thalet, ta được \(\frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(HK = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có:
⦁ \(HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(AH = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Tam giác SHD vuông tại H có HI là đường cao:
\[\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\].
Suy ra \(H{I^2} = \frac{{2{a^2}}}{9}\).
Do đó \(HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Tam giác HIK vuông tại I: \(\sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {HKI} = 45^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng 45°.
Do đó ta chọn phương án D.
Lời giải
Lời giải
a) Gọi N là trung điểm AC.
Do H là điểm đối xứng của B qua G.
Suy ra G là trung điểm của BH.
Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).
Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).
Suy ra GN = NH.
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].
Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo