Câu hỏi:

21/03/2023 556

Giải hệ phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ):

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\) (I)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\y \ne 1\end{array} \right.\) (*)

Đặt \(a = \frac{1}{{x - 2}};\,b = \frac{1}{{y - 1}}\).

Hệ (I) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\b = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{5}\\b = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{5}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \frac{5}{7}\\y - 1 = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{19}}{7};\frac{8}{3}} \right)} \right\}\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\) (II)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{1}{2}\\y \ne 3\end{array} \right.\) (*)

Đặt \(a = \frac{1}{{2x - 1}};\,b = \frac{1}{{3 - y}}\).

Hệ (II) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = - 1\\a - 3b = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6b = - 1\\a = 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9b - 6b = - 1\\a = 3b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3b = - 1\\a = 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - \frac{1}{3}\\a = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3 - y}} = - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{2x - 1}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - y = - 3\\2x - 1 = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 0\end{array} \right.\)

So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) ∈ {(0; 6)}.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\) (III)

Điều kiện: x, y ≠ 0 (*)

Đặt \(a = \frac{1}{x};\,\,b = \frac{1}{y}\).

Hệ (III) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{4}\\10a + b = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - 10a = \frac{1}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9a = - \frac{3}{4}\\b = 1 - 10a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\end{array} \right.\)

So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) ∈ {(12; 6)}.

d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\) (IV)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2y\\x \ne \frac{y}{2}\end{array} \right.\) (*)

Đặt \(a = \frac{1}{{2x - y}};\,b = \frac{1}{{x - 2y}}\).

Hệ (IV) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = \frac{1}{2}\\2a - b = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = \frac{1}{2}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {2a - \frac{1}{{18}}} \right) = \frac{1}{2}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a = \frac{2}{3}\\b = 2a - \frac{1}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = \frac{1}{9}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 12\\x - 2y = 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 12\\x - 2\left( {2x - 12} \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 12\\ - 3x = - 15\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 5\end{array} \right.\)

So với điều kiện (*), ta nhận \(\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) ∈ {(5; –2)}.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng

A. 30°;

B. 90°;

C. 60°;

D. 45°.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là trọng tâm của tam giác ABD.

Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Mà hình chóp S.ABD có SA = SB = SD = a (giả thiết).

Suy ra SH ⊥ (ABD).

Ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ODC} = \widehat {ADO} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) (do ABCD là hình thoi nên DO là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).

Vì vậy \(\widehat {HDO} = \frac{{\widehat {ADO}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \) (do ∆ABD đều có H là trọng tâm nên DH là đường phân giác của ∆ABD).

Ta có \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).

Suy ra HD ⊥ CD.

Trong (SAC): dựng HK // SA (K ∈ SC).

Trong (SHD): dựng HI ⊥ SD (I ∈ SD).

Mà HD ⊥ CD (chứng minh trên).

Suy ra CD ⊥ (SHD).

Do đó CD ⊥ HI.

Vì vậy HI ⊥ (SCD).

Ta có I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H, K lên (SCD).

Do đó KI là hình chiếu vuông góc của HK lên (SCD).

Vì vậy (SA; (SCD)) = (HK; (SCD)) = (HK; KI) = \(\widehat {HKI}\).

Ta có HK // SA. Áp dụng định lí Thalet, ta được \(\frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(HK = \frac{{2a}}{3}\).

Ta có:

⦁ \(HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);

⦁ \(AH = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);

⦁ \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác SHD vuông tại H có HI là đường cao:

\[\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\].

Suy ra \(H{I^2} = \frac{{2{a^2}}}{9}\).

Do đó \(HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Tam giác HIK vuông tại I: \(\sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {HKI} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng 45°.

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 2

Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {CH} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

b) \(\overrightarrow {MH} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \), với M là trung điểm BC.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi N là trung điểm AC.

Do H là điểm đối xứng của B qua G.

Suy ra G là trung điểm của BH.

Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).

Suy ra GN = NH.

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].

Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 3

Đổi: 4 giờ 30 phút = … giờ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \vec 0\).

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m². Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

A. 0,48 m³;

B. 0,54 m³;

C. 0,56 m³;

D. 0,6 m³.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng

Đổi: 4 giờ 30 phút = … giờ.

Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0). a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \]. b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m2. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m². Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).