Giải phương trình sau: 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5}.

Lời giải

Ta có 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5} (Điều kiện: n ≥ 6).

⇔ 16,7.n! = 2004.(n – 5)!

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)! = 2004.(n – 5)!

⇔ (n – 5)!.[16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004] = 0

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004 = 0

⇔ n.(n – 1)(n – 4)(n – 2)(n – 3) – 120 = 0

⇔ n.(n² – 5n + 4)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ (n³ – 5n² + 4n)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ n⁵ – 5n⁴ + 6n³ – 5n⁴ + 25n³ – 30n² + 4n³ – 20n² + 24n – 120 = 0

⇔ n⁵ – 10n⁴ + 35n³ – 50n² + 24n – 120 = 0

⇔ (n⁵ – 5n⁴) – (5n⁴ – 25n³) + (10n³ – 50n²) + (24n – 120) = 0

⇔ n⁴.(n – 5) – 5n³.(n – 5) + 10n².(n – 5) + 24(n – 5) = 0

⇔ (n – 5)(n⁴ – 5n³ + 10n² + 24) = 0 (1)

Ta có \({n^4} - 5{n^3} + 10{n^2} + 24 = {\left( {{n^2} - \frac{{5n}}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4}{n^2} + 24\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{n^2} - \frac{{5n}}{2}} \right)^2} \ge 0,\,\forall n \ge 6\\\frac{{15}}{4}{n^2} \ge 0,\,\forall n \ge 6\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow {\left( {{n^2} - \frac{{5n}}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4}{n^2} \ge 0,\,\forall n \ge 6\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{n^2} - \frac{{5n}}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4}{n^2} + 24 \ge 24 > 0,\,\forall n \ge 6\).

Khi đó phương trình (1) tương đương với: n – 5 = 0.

⇔ n = 5 (nhận).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là n = 5.