Giải phương trình: \(\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3\).

Lời giải

Ta có \(\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3\)    (1)

Điều kiện: x ≥ –1  (*)

Đặt \(\sqrt[3]{{x - 2}} = a\)

       \(\sqrt {x + 1} = b\) (b ≥ 0).

Suy ra a³ – b² = –3.

Phương trình (1) tương đương với: a + b = 3.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\{a^3} - {b^2} = - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\{a^3} - {\left( {3 - a} \right)^2} = - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\{a^3} - \left( {9 - 6a + {a^2}} \right) = - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\{a^3} - {a^2} + 6a - 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\\left( {{a^2} + 6} \right)\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\a - 1 = 0\,\,\left( {{a^2} + 6 > 0,\,\forall a \in \mathbb{R}} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - a\\a = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 1\end{array} \right.\]

So với điều kiện b ≥ 0, ta nhận b = 2.

Với b = 2, ta có: \(\sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3\).

Với a = 1, ta có: \(\sqrt[3]{{x - 2}} = 1 \Leftrightarrow x - 2 = 1 \Leftrightarrow x = 3\).

So với điều kiện (*), ta nhận x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.