Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của MP, NQ. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh A, O, G thẳng hàng.

Lời giải

Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\)   (1)

Xét tam giác ADC có P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD.

Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ADC.

Do đó PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\)   (2)

Từ (1), (2), suy ra PQ // MN và PQ = MN.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành MNPQ.

Suy ra O là trung điểm của MP.

Do đó \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = \vec 0\).

Ta có M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \] và \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OP} \].

Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.\vec 0 = \vec 0\).

Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( = 4\overrightarrow {GO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {GO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).

Mà G là trọng tâm của tam giác BCD.

Suy ra \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {GA} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).

Vì vậy \(\overrightarrow {GA} = 4\overrightarrow {GO} \).

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GO} \) cùng hướng và GA = 4GO.

Vậy ba điểm A, O, G thẳng hàng.