Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của MP, NQ. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh A, O, G thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1)
Xét tam giác ADC có P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD.
Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ADC.
Do đó PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1), (2), suy ra PQ // MN và PQ = MN.
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Mà O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành MNPQ.
Suy ra O là trung điểm của MP.
Do đó \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = \vec 0\).
Ta có M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \] và \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OP} \].
Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.\vec 0 = \vec 0\).
Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)
\( = \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {GO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {GO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).
Mà G là trọng tâm của tam giác BCD.
Suy ra \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow {GA} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).
Vì vậy \(\overrightarrow {GA} = 4\overrightarrow {GO} \).
Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GO} \) cùng hướng và GA = 4GO.
Vậy ba điểm A, O, G thẳng hàng.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Muốn đổi hỗn số thành số thập phân, ta làm các bước sau:
Bước 1: Đưa hỗn số thành phân số:
– Lấy phần nguyên nhân với mẫu số, kết quả nhận được cộng thêm tử số;
– Thay kết quả ở trên thành tử số mới, giữ nguyên mẫu số, ta được một phân số từ hỗn số đã cho.
Bước 2: Đưa mẫu số về 10; 100; 1000; … và thực hiện đổi phân số thập phân về số thập phân.
Ví dụ: Đổi các hỗn số \(5\frac{1}{{10}}\) và \(5\frac{3}{4}\) thành số thập phân.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(5\frac{1}{{10}} = \frac{{5 \times 10 + 1}}{{10}} = \frac{{51}}{{10}} = 5,1\);
\(5\frac{3}{4} = \frac{{5 \times 4 + 3}}{4} = \frac{{23}}{4} = \frac{{23 \times 25}}{{4 \times 25}} = \frac{{575}}{{100}} = 5,75\).
Câu 2
A. \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)
B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
D. \(\frac{{3a}}{4}\)
Lời giải
Lời giải
Ta có E là trung điểm BC.
Suy ra \(CE = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).
Ta có AB = CD (do ABCD là hình vuông) và BE = CE (E là trung điểm BC).
Suy ra \(\sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} \).
Do đó AE = DE.
Tam giác CDE vuông tại C: \(AE = DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Ta có \(D{F^2} = \frac{{2D{A^2} + 2D{E^2} - A{E^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + 2{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\).
Vậy \(DF = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).
Do đó ta chọn phương án A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo