Giải phương trình:

a) \(\cos 2x + 2\cos x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\).

b) 2cos²2x + 3sin²x = 2.

Lời giải

a) Ta có \(\cos 2x + 2\cos x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\)

⇔ 2cos²x – 1 + 2cosx = 1 – cosx

⇔ 2cos²x + 3cosx – 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = - 2\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Ta có 2cos²2x + 3sin²x = 2

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + 3.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} = 2\)

⇔ 4cos²2x + 3(1 – cos2x) = 4

⇔ 4cos²2x – 3cos2x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \pm \arccos \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).