Cho phương trình: \(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Tìm nghiệm x ∈ (0; 2π).

Lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0   (*)

Phương trình đã cho tương đương với: \(1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\left( {\sin x + \cos x} \right)\)

⇔ cosx + sinx – 2cosx(sinx + cosx) = 0

⇔ (sinx + cosx)(1 – 2cosx) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\1 - 2\cos x = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

So với điều kiện (*), ta nhận \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì x ∈ (0; 2π) nên x ∈ \(\left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).