Câu hỏi:

19/08/2025 6,685

Cho nửa đường tròn (O) đường kính CD. Vẽ các tiếp tuyến Cx, Dy (Cx, Dy và nửa đường tròn (O) thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ CD). Lấy điểm M tùy ý trên nửa đường tròn trên. Tiếp tuyến tại M cắt Cx, Dy lần lượt tại A, B.

a) Chứng minh ∆OAB vuông tại O.

b) Chứng minh AB = AC + BD.

c) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AM, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên ta có OA là tia phân giác của \(\widehat {COM}\).

Chứng minh tương tự, ta được OB là tia phân giác của \(\widehat {MOD}\).

Ta có \(\widehat {COM} + \widehat {MOD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

\( \Leftrightarrow 2\widehat {AOM} + 2\widehat {MOB} = 180^\circ \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {AOM} + \widehat {MOB}} \right) = 180^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {AOM} + \widehat {MOB} = \frac{{180^\circ }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \widehat {AOB} = 90^\circ \).

Vậy tam giác AOB vuông tại O.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AC = AM và BM = BD.

Ta có AB = AM + MB = AC + BD.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) Gọi I là trung điểm của AB.

Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính AB.

Ta có \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) (chứng minh trên).

Suy ra O nằm trên đường tròn đường kính AB.

Ta có CA ⊥ CD và BD ⊥ CD (AC, BD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Suy ra CA // BD.

Do đó ABDC là hình thang.

Hình thang ABDC có O, I lần lượt là trung điểm của CD và AB.

Suy ra OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

Do đó OI // AC.

Mà AC ⊥ CD (chứng minh trên).

Suy ra OI ⊥ CD.

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách chuyển hỗn số thành số thập phân, ta làm như thế nào?

Xem đáp án

Lời giải

Muốn đổi hỗn số thành số thập phân, ta làm các bước sau:

Bước 1: Đưa hỗn số thành phân số:

– Lấy phần nguyên nhân với mẫu số, kết quả nhận được cộng thêm tử số;

– Thay kết quả ở trên thành tử số mới, giữ nguyên mẫu số, ta được một phân số từ hỗn số đã cho.

Bước 2: Đưa mẫu số về 10; 100; 1000; … và thực hiện đổi phân số thập phân về số thập phân.

Ví dụ: Đổi các hỗn số \(5\frac{1}{{10}}\) và \(5\frac{3}{4}\) thành số thập phân.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(5\frac{1}{{10}} = \frac{{5 \times 10 + 1}}{{10}} = \frac{{51}}{{10}} = 5,1\);

\(5\frac{3}{4} = \frac{{5 \times 4 + 3}}{4} = \frac{{23}}{4} = \frac{{23 \times 25}}{{4 \times 25}} = \frac{{575}}{{100}} = 5,75\).

Câu 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.

A. \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\frac{{3a}}{4}\)

Lời giải

Media VietJack

Ta có E là trung điểm BC.

Suy ra \(CE = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có AB = CD (do ABCD là hình vuông) và BE = CE (E là trung điểm BC).

Suy ra \(\sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} \).

Do đó AE = DE.

Tam giác CDE vuông tại C: \(AE = DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có \(D{F^2} = \frac{{2D{A^2} + 2D{E^2} - A{E^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + 2{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\).

Vậy \(DF = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 3