Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính CD. Từ C, D kẻ các tiếp tuyến Cx, Dy với nửa đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn lấy điểm E, điểm M bất kì nằm trên CD (M khác C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với EM và cắt Cx, Dy tại A, B. Chứng minh \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).

Lời giải

Ta có AC là tiếp tuyến của (O).

Suy ra \(\widehat {ACM} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {AEM} = 90^\circ \) (do EM ⊥ CD).

Do đó \(\widehat {ACM} + \widehat {AEM} = 180^\circ \).

Vì vậy tứ giác ACME nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Chứng minh tương tự, ta được tứ giác BDEM nội tiếp đường tròn đường kính MB.

Ta có:

⦁ \(\widehat {ACE} = \widehat {CDE}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung của (O));

⦁ \(\widehat {ACE} = \widehat {AME}\) (cùng chắn  của đường tròn đường kính AM);

⦁ \(\widehat {CDE} = \widehat {EBM}\) (cùng chắn  của đường tròn đường kính MB).

Do đó \(\widehat {AME} = \widehat {EBM}\).

Mà \(\widehat {EMB} + \widehat {EBM} = 90^\circ \) (do tam giác BEM vuông tại E).

Suy ra \(\widehat {EMB} + \widehat {AME} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).