Tìm ảnh của (C): x² + y² + 2x – 84 = 0 qua Q_{(O; –45°)}.

Lời giải

(C) có tâm I(–1; 0), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + 84} = \sqrt {85} \).

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép quay Q_{(O; –45°)}.

Suy ra (C’) có bán kính \(R = \sqrt {85} \) và có tâm I’ = Q_{(O; –45°)}(I).

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I}\cos \left( { - 45^\circ } \right) - {y_I}\sin \left( { - 45^\circ } \right) = - 1.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 0.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\{y_{I'}} = {x_I}\sin \left( { - 45^\circ } \right) + {y_I}\cos \left( { - 45^\circ } \right) = 1.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 0.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\]

Vì vậy tọa độ \(I'\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Vậy phương trình (C’): \({\left( {x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 85\).