Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.

Lời giải

a) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B

Suy ra AB ⊥ OB hay tam giác OAB vuông tại B

Ta có AB ⊥ OB, OK ⊥ OB

Nên AB // OK

Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc so le trong)

Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra AO là tia phân giác của góc BAC, AC = AB

Do đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)

Mà \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)

Nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}}\)

Suy ra tam giác OAK cân tại K

b) Vì I thuộc (O; R) nên OI = R

Mà OA = 2R (giả thiết)

Suy ra IA = OI = R

Do đó I là trung điểm của OA

Xét tam giác OAK cân tại K có KI là đường trung tuyến

Suy ra KI là đường cao

Nên KI ⊥ OA

Hay KM ⊥ OA

Suy ra KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Vì tam giác OAB vuông tại O nên OA² = OB² + AB² (định lý Pytago)

Hay AB² = OA² – OB² = (2R)² – R² = 3R²

Suy ra \(AB = R\sqrt 3 \)

Xét (O;R) có KC, KI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại K

Nên KI = KC

Xét (O;R) có MB, MI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MI = MB

Chu vi tam giác MKA là:

MK + MA + AK

= MI + IK + MA + AK

= MB + CK + MA + AK

= (MB + MA) +  (MB + MA)

= AB + AC

\[ = 2AB = 2R\sqrt 3 \].

Vậy chu vi tam giác AKM bằng \[2R\sqrt 3 \].