Câu hỏi:
13/07/2024 2,843
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì (d) và (d’) là tiếp tuyến của (O) tại A, B
Nên OA ⊥ d, OB ⊥ d’
Suy ra \(\widehat {OAM} = 90^\circ \), \(\widehat {OBP} = 90^\circ \)
Ta có đường tròn (O; R), đường kính AB
Nên OA = OB = R
Xét tam giác OAM và tam giác OBP có
\(\widehat {OAM} = \widehat {OBP}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB
\(\widehat {MOA} = \widehat {POB}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó △OAM = △OBP (g.c.g)
Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác MNP có NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
Suy ra tam giác MNP cân tại N
b) Xét tam giác MNP cân tại N có NO là đường cao
Suy ra NO là tia phân giác của góc MNP
Suy ra \(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)
Xét tam giác ONI và tam giác ONB có
\(\widehat {OIN} = \widehat {OBN}\left( { = 90^\circ } \right)\)
ON là cạnh chung
\(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)(chứng minh trên)
Do đó △ONI = △ONB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OI = OB (hai cạnh tương ứng)
Mà OB = R nên OI = R
Xét (O; R) có OI = R, OI ⊥ MN
Suy ra MN là tiếp tuyến của (O) tại I
c) Xét (O) có MA , MI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MA = MI
Xét (O) có NB , NI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra NB = NI
Vì tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN
Nên IM . IN = OI2 = R2
Mà MA = MI, NB = NI (chứng minh trên)
Suy ra AM . BN = R2
d) Tứ giác ABNM có \(\widehat {MAB} = \widehat {ABN} = 90^\circ \)
Nên ABNM là hình thang vuông
Suy ra \({S_{ABNM}} = \frac{{(AM + BN).AB}}{2} = \frac{{\left( {AI + IN} \right).2{\rm{R}}}}{2} = MN.R\)
Kẻ MH vuông góc d’
Ta có tam giác MHN vuông tại H
Suy ra MN ≥ MH
Để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất
⟺ MN nhỏ nhất
Mà MN ≥ MH (chứng minh trên)
Dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ H
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng song song AB cách AB một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
20,379
Câu 2:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
16,130
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,366
Câu 4:
Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,737
Câu 5:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,377
Câu 6:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,231
về câu hỏi!