Câu hỏi:
13/07/2024 16,712
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì (d) và (d’) là tiếp tuyến của (O) tại A, B
Nên OA ⊥ d, OB ⊥ d’
Suy ra \(\widehat {OAM} = 90^\circ \), \(\widehat {OBP} = 90^\circ \)
Ta có đường tròn (O; R), đường kính AB
Nên OA = OB = R
Xét tam giác OAM và tam giác OBP có
\(\widehat {OAM} = \widehat {OBP}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB
\(\widehat {MOA} = \widehat {POB}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó △OAM = △OBP (g.c.g)
Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác MNP có NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
Suy ra tam giác MNP cân tại N
b) Xét tam giác MNP cân tại N có NO là đường cao
Suy ra NO là tia phân giác của góc MNP
Suy ra \(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)
Xét tam giác ONI và tam giác ONB có
\(\widehat {OIN} = \widehat {OBN}\left( { = 90^\circ } \right)\)
ON là cạnh chung
\(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)(chứng minh trên)
Do đó △ONI = △ONB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OI = OB (hai cạnh tương ứng)
Mà OB = R nên OI = R
Xét (O; R) có OI = R, OI ⊥ MN
Suy ra MN là tiếp tuyến của (O) tại I
c) Xét (O) có MA , MI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MA = MI
Xét (O) có NB , NI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra NB = NI
Vì tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN
Nên IM . IN = OI2 = R2
Mà MA = MI, NB = NI (chứng minh trên)
Suy ra AM . BN = R2
d) Tứ giác ABNM có \(\widehat {MAB} = \widehat {ABN} = 90^\circ \)
Nên ABNM là hình thang vuông
Suy ra \({S_{ABNM}} = \frac{{(AM + BN).AB}}{2} = \frac{{\left( {AI + IN} \right).2{\rm{R}}}}{2} = MN.R\)
Kẻ MH vuông góc d’
Ta có tam giác MHN vuông tại H
Suy ra MN ≥ MH
Để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất
⟺ MN nhỏ nhất
Mà MN ≥ MH (chứng minh trên)
Dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ H
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng song song AB cách AB một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:
\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\(\widehat {ABC}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AB2 = BH . BC.
b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)
Xét ∆AHB và ∆CHA có:
\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AH2 = BH . CH.
c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]
Suy ra AB . AC = AH . BC.
d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:
\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).
\(\widehat {ACB}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AC2 = CH . BC.
Lời giải
Lời giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)
= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)
= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)
b) Ta có:
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)
= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)
= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)
Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận