Câu hỏi:
13/07/2024 1,688Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì (d) và (d’) là tiếp tuyến của (O) tại A, B
Nên OA ⊥ d, OB ⊥ d’
Suy ra \(\widehat {OAM} = 90^\circ \), \(\widehat {OBP} = 90^\circ \)
Ta có đường tròn (O; R), đường kính AB
Nên OA = OB = R
Xét tam giác OAM và tam giác OBP có
\(\widehat {OAM} = \widehat {OBP}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB
\(\widehat {MOA} = \widehat {POB}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó △OAM = △OBP (g.c.g)
Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác MNP có NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
Suy ra tam giác MNP cân tại N
b) Xét tam giác MNP cân tại N có NO là đường cao
Suy ra NO là tia phân giác của góc MNP
Suy ra \(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)
Xét tam giác ONI và tam giác ONB có
\(\widehat {OIN} = \widehat {OBN}\left( { = 90^\circ } \right)\)
ON là cạnh chung
\(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)(chứng minh trên)
Do đó △ONI = △ONB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OI = OB (hai cạnh tương ứng)
Mà OB = R nên OI = R
Xét (O; R) có OI = R, OI ⊥ MN
Suy ra MN là tiếp tuyến của (O) tại I
c) Xét (O) có MA , MI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MA = MI
Xét (O) có NB , NI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra NB = NI
Vì tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN
Nên IM . IN = OI2 = R2
Mà MA = MI, NB = NI (chứng minh trên)
Suy ra AM . BN = R2
d) Tứ giác ABNM có \(\widehat {MAB} = \widehat {ABN} = 90^\circ \)
Nên ABNM là hình thang vuông
Suy ra \({S_{ABNM}} = \frac{{(AM + BN).AB}}{2} = \frac{{\left( {AI + IN} \right).2{\rm{R}}}}{2} = MN.R\)
Kẻ MH vuông góc d’
Ta có tam giác MHN vuông tại H
Suy ra MN ≥ MH
Để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất
⟺ MN nhỏ nhất
Mà MN ≥ MH (chứng minh trên)
Dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ H
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng song song AB cách AB một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Câu 2:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Câu 4:
Câu 5:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Câu 7:
về câu hỏi!