Câu hỏi:
13/07/2024 72,962
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M
Nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB, MA = MB
Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)
Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp
Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .
b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC
\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có
\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
\(\widehat {BMD}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)
Suy ra MC . MD = MB2
Mà MA = MB (chứng minh câu a)
Suy ra MC . MD = MA2 (1)
Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB
Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB
Suy ra MO là trung trực của AB
Do đó MO ⊥ AB
Xét tam giác MAO vuông tại A có MO ⊥ AH
Suy ra MH . MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO
c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác MCH và tam giác MOD có
\(\widehat {OMD}\) là góc chung
\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra (c.g.c)
Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Do đó tứ giác CHOD nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O
Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)
Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến
Suy ra OK là phân giác của góc COD
Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)
Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD
Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)
Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE
Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)
Mà \(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)
Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)
Hay OC ⊥ CE
Xét (O) có OC ⊥ CE, OC là bán kính
Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)
Vậy EC là tiếp tuyến của (O).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)
Xem đáp án »
13/07/2024
21,204
Câu 2:
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,555
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
13/07/2024
13,117
Câu 4:
Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,961
Câu 5:
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,162
Câu 6:
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,885
Bình luận
Bé Na
01:34 - 09/05/2024
Ai giúp mình giải bài này với ạ em cảm ơn 😷
về câu hỏi!