Câu hỏi:
13/07/2024 131,109Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M
Nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB, MA = MB
Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)
Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp
Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .
b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC
\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có
\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
\(\widehat {BMD}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)
Suy ra MC . MD = MB2
Mà MA = MB (chứng minh câu a)
Suy ra MC . MD = MA2 (1)
Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB
Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB
Suy ra MO là trung trực của AB
Do đó MO ⊥ AB
Xét tam giác MAO vuông tại A có MO ⊥ AH
Suy ra MH . MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO
c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác MCH và tam giác MOD có
\(\widehat {OMD}\) là góc chung
\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra (c.g.c)
Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Do đó tứ giác CHOD nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O
Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)
Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến
Suy ra OK là phân giác của góc COD
Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)
Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD
Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)
Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE
Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)
Mà \(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)
Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)
Hay OC ⊥ CE
Xét (O) có OC ⊥ CE, OC là bán kính
Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)
Vậy EC là tiếp tuyến của (O).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Câu 5:
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Câu 6:
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
Bé Na
01:34 - 09/05/2024
Ai giúp mình giải bài này với ạ em cảm ơn 😷