Câu hỏi:
26/03/2023 31,201Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M
Nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB, MA = MB
Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)
Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp
Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .
b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC
\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có
\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)
\(\widehat {BMD}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)
Suy ra MC . MD = MB2
Mà MA = MB (chứng minh câu a)
Suy ra MC . MD = MA2 (1)
Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB
Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB
Suy ra MO là trung trực của AB
Do đó MO ⊥ AB
Xét tam giác MAO vuông tại A có MO ⊥ AH
Suy ra MH . MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO
c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác MCH và tam giác MOD có
\(\widehat {OMD}\) là góc chung
\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra (c.g.c)
Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)
Do đó tứ giác CHOD nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O
Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)
Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)
Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến
Suy ra OK là phân giác của góc COD
Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)
Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD
Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)
Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)
Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)
\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE
Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp
Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)
Mà \(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)
Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)
Hay OC ⊥ CE
Xét (O) có OC ⊥ CE, OC là bán kính
Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)
Vậy EC là tiếp tuyến của (O).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho hàm số y = (2 – m)x + m + 1 (với m là tham số và m ≠ 2) có đồ thị là đường thẳng d.
a) Khi m = 0, hãy vẽ d trên trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để d cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bẳng 2.
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Câu 4:
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:
Câu 5:
Câu 6:
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
về câu hỏi!