Câu hỏi:

19/08/2025 19,515 Lưu

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC

Hay AK // IC

Ta có AI BD và CK BD

Suy ra AI // CK

Xét tứ giác AKCI có AI // CK, AK // CI

Suy ra AKCI là hình bình hành

Vậy AKCI là hình bình hành.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD

Vì AB // CD nên \(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (hai góc so le trong)

Xét ΔABE và ΔCDF có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {CFD}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = CD (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (chứng minh trên)

Suy ra ΔABE = ΔCDF (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AF = CF (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AECF có AE // CF, AF = CF

Nên AECF là hình bình hành

Suy ra AF // CE

Vậy AF // CE.

c) Gọi giao điểm của AC và KI là O

Vì AKCI là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, KI

Vì AECF là hình bình hành, O là trung điểm của AC

Nên O là trung điểm của EF

Suy ra AC, EF và KI đồng quy tại O

Vậy ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)  cắt nhau tại M

Nên MA OA, MB OB, MA = MB

Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp

Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .

b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC

\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

Xét tam giác MBC và tam giác MDB có

\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

\(\widehat {BMD}\) là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)

Suy ra MC . MD = MB2

Mà MA = MB (chứng minh câu a)

Suy ra MC . MD = MA2                       (1)

Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB

Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB

Suy ra MO là trung trực của AB

Do đó MO AB

Xét tam giác MAO vuông tại A có MO AH

Suy ra MH . MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO

c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác MCH và tam giác MOD có

\(\widehat {OMD}\) là góc chung

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra (c.g.c)

Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Do đó tứ giác CHOD nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O

Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

\(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)

\(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)

Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến

Suy ra OK là phân giác của góc COD

Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)

Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD

Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)

Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE

Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)

\(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)

Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)

Hay OC CE

Xét (O) có OC CE, OC là bán kính

Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)

Vậy EC là tiếp tuyến của (O).

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

Vì ABCD là hình bình hành

Nên AB // CD, AB = CD

Mà AB = 2AM, CD = 2CN

Suy ra AM = CN                                        

Xét tứ giác AMCN có

AM / /CN (chứng minh trên)

AM = CN (chứng minh trên)

Do đó: AMCN là hình bình hành

Suy ra AN // CM

Xét ΔDFC có

N là trung điểm của DC

NE // FC

Do đó: E là trung điểm của DF

Suy ra DE = EF                (1)

Xét ΔABE có

M là trung điểm của BA

MF // AE

Do đó: F là trung điểm của BE

Suy ra BF = FE                (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FB

Suy ra \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Vậy \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP