Câu hỏi:
26/03/2023 3,115Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Vì H là trung điểm của BC nên HA = HC
Xét tam giác AHB và tam giác AHC có
AH là cạnh chung
AB = AC (chứng minh trên)
HA = HC (chứng minh trên)
Do đó ΔAHB = ΔAHC (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Hay AH ⊥ BC
Vì tam giác HIC vuông tại I nên \(\widehat {IHC} + \widehat {ICH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {AHO} + \widehat {IHC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
Vậy \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\).
b) Xét ΔAHI và ΔHCI có:
\(\widehat {AHI} = \widehat {HCI}\) (chứng minh câu a)
\(\widehat {AIH} = \widehat {CIH}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó (g.g)
Suy ra AH . IC = HI . HC
Mà HI = 2. HO; HC = \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Suy ra HI . HC = 2 . HO . \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\) = HO . BC
Vậy AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Vì AH . IC = HO . BC nên \(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\)
Xét ΔAHO và ΔBCI có:
\(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\) (chứng minh câu a)
Suy ra (c.g.c)
d) Vì nên \(\widehat {HAO} = \widehat {CBI}\)
Gọi giao điểm của AO và BI là D
Xét tam giác ABD có \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {DAH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {HAD} = \widehat {CBI}\)
Suy ra \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CBI} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Nên \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì tam giác AHB vuông tại H)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \)
Nên AO ⊥ BI
Vậy AO ⊥ BI.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Câu 2:
Câu 3:
Cho hàm số y = (2 – m)x + m + 1 (với m là tham số và m ≠ 2) có đồ thị là đường thẳng d.
a) Khi m = 0, hãy vẽ d trên trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để d cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bẳng 2.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Câu 5:
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:
Câu 6:
về câu hỏi!