Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh

a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)

b) AH . IC = HI . HC = HO . BC

c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI

d) AO vuông góc BI.

Lời giải

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Vì H là trung điểm của BC nên HA = HC

Xét tam giác AHB và tam giác AHC có

AH là cạnh chung

AB = AC (chứng minh trên)

HA = HC (chứng minh trên)

Do đó ΔAHB = ΔAHC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Hay AH ⊥ BC

Vì tam giác HIC vuông tại I nên \(\widehat {IHC} + \widehat {ICH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {AHO} + \widehat {IHC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)

Vậy \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\).

b) Xét ΔAHI và ΔHCI có:

\(\widehat {AHI} = \widehat {HCI}\) (chứng minh câu a)

\(\widehat {AIH} = \widehat {CIH}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó (g.g)

Suy ra AH . IC = HI . HC

Mà HI = 2. HO; HC = \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)

Suy ra HI . HC = 2 . HO . \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\) = HO . BC

Vậy AH . IC = HI . HC = HO . BC

c) Vì AH . IC = HO . BC nên \(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\)

Xét ΔAHO và ΔBCI có:

\(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\) (chứng minh câu a)

Suy ra  (c.g.c)

d) Vì nên \(\widehat {HAO} = \widehat {CBI}\)

Gọi giao điểm của AO và BI là D

Xét tam giác ABD có \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {DAH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {HAD} = \widehat {CBI}\)

Suy ra \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CBI} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)

Nên \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì tam giác AHB vuông tại H)

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \)

Nên AO ⊥ BI

Vậy AO ⊥ BI.