Câu hỏi:
13/07/2024 7,886
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Vì H là trung điểm của BC nên HA = HC
Xét tam giác AHB và tam giác AHC có
AH là cạnh chung
AB = AC (chứng minh trên)
HA = HC (chứng minh trên)
Do đó ΔAHB = ΔAHC (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Hay AH ⊥ BC
Vì tam giác HIC vuông tại I nên \(\widehat {IHC} + \widehat {ICH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {AHO} + \widehat {IHC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
Vậy \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\).
b) Xét ΔAHI và ΔHCI có:
\(\widehat {AHI} = \widehat {HCI}\) (chứng minh câu a)
\(\widehat {AIH} = \widehat {CIH}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó (g.g)
Suy ra AH . IC = HI . HC
Mà HI = 2. HO; HC = \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Suy ra HI . HC = 2 . HO . \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2}\) = HO . BC
Vậy AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Vì AH . IC = HO . BC nên \(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\)
Xét ΔAHO và ΔBCI có:
\(\frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{BC}}{{IC}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\) (chứng minh câu a)
Suy ra (c.g.c)
d) Vì nên \(\widehat {HAO} = \widehat {CBI}\)
Gọi giao điểm của AO và BI là D
Xét tam giác ABD có \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {DAH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {HAD} = \widehat {CBI}\)
Suy ra \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CBI} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Nên \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ \)
Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì tam giác AHB vuông tại H)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \)
Nên AO ⊥ BI
Vậy AO ⊥ BI.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Xem đáp án »
13/07/2024
72,964
Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)
Xem đáp án »
13/07/2024
21,204
Câu 3:
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,555
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
13/07/2024
13,117
Câu 5:
Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,963
Câu 6:
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,162
về câu hỏi!