Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.

c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.

d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.

Lời giải

a) Xét tứ giác AOBM có: \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Þ AOBM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Vậy bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M Þ MA = MB.

Lại có OA = OB = R

Þ OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Þ OM ^ AB (1)

Mà \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] (Do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AB ^ BC (2)

Từ (1) và (2) Þ OM // BC

c) Do OM // BC \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {ACB}\) (Hai góc ở vị trí đồng vị)

Þ \(\widehat {AOM} = \widehat {KCB}\)

Lại có OM là đường trung trực trong tam giác cân OAB nên nó cũng là đường phân giác của tam giác OAB

\( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)

Nên suy ra \(\widehat {KCB} = \widehat {BOM}\)

Xét ∆BCK và ∆MOB có:

\(\widehat {KCB} = \widehat {BOM}\) (cmt)

\(\widehat {BKC} = \widehat {MBO}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Þ ∆BCK ᔕ ∆MOB (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{CK}}{{OB}} = \frac{{CB}}{{OM}} \Rightarrow CK.OM = OB.CB\) (đpcm)

d) Lấy E là giao điểm của CM và OD.

Ta có: \(\widehat {BCD} = \widehat {BAC}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {BCA}\))

Mà \(\widehat {BMO} = \widehat {BAO}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BO)

\( \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {BCD}\)

Xét ∆BMO và ∆BCD có:

\(\widehat {BMO} = \widehat {BCD}\) (cmt)

\(\widehat {MBO} = \widehat {CBD}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Þ ∆BMO ᔕ ∆BCD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BO}}{{BD}}\)

Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {OBD}\)

Þ ∆MBC ᔕ ∆OBD (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BOD}\)

Þ Tứ giác BMOE nội tiếp đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {MEO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \) (Hai góc nôij tiếp cùng chắn cung MO)

Þ OD ^ CM (đpcm).