Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A, B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.

a) Chứng minh SO // BD.

b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA = SC.

c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.

Lời giải

a) Ta có: SA và SD là hai tiếp tuyến của (O) và cắt nhau tại S Þ SA = SD.

Mà OA = OD (Bán kính của đường tròn (O)).

Khi đó SO là đường trung trực của đoạn thẳng AD Þ SO ^ AD.

Tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên suy ra AD ^ BD.

Vậy suy ra SO // BD (đpcm).

b) Xét ∆ABC có:

O là trung điểm của AB;

SO // BD (cmt).

Suy ra SO là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó S là trung điểm của AC.

Vậy SA = SC (đpcm).

c) Do AC ^ AB và DH ^ AB nên suy ra AC // DH

Xét ∆BSC có ED // SC. Theo định lý Ta-lét, ta có: \(\frac{{BE}}{{BS}} = \frac{{ED}}{{SC}}\) (1)

Xét ∆BSA có EH // SA. Theo định lý Ta-lét, ta có: \(\frac{{BE}}{{BS}} = \frac{{EH}}{{SA}}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{ED}}{{SC}} = \frac{{EH}}{{SA}}\).

Mà SC = SA Þ ED = EH.

Vậy E là trung điểm của DH.