Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.

a) Chứng minh DC // EM.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{BAD}=90°$ và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.

Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay $\widehat{AHO}=90°$.

Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay $\widehat{AKO}=90°$.

Ta có: $\widehat{BAD}+\widehat{AHO}+\widehat{AKO}+\widehat{HOK}=360°$

$90°+90°+90°+\widehat{HOK}=360°$

$270°+\widehat{HOK}=360°$

Suy ra $\widehat{HOK}=360°-270°=90°$.

Tứ giác AHOK có $\widehat{BAD}=90°;\widehat{AHO}=90°;\widehat{AKO}=90°;\widehat{HOK}=90°$.

Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

• Hình 4.18a)

Ta có: DH = HF, H ∈ DF nên H là trung điểm của DF;

EK = KF, K ∈ EF nên K là trung điểm của EF.

Xét tam giác DEF có H, K lần lượt là trung điểm của DF, EF nên HK là đường trung bình của tam giác DEF.

Suy ra $HK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}x$.

Do đó x = 2HK = 2 . 3 = 6.

• Hình 4.18b)

Vì MN ⊥ AB, AC ⊥ AB nên MN // AC.

Mà M là trung điểm của BC (vì AM = BM = 3)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó y = NC = BN = 5.

Vậy x = 6; y = 5.