Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD^=120∘. Biết A'BA^=C'A'C^=90∘, góc giữa hai mặt phẳng (A'AD) và (ABB'A') bằng a với tanα=2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'...

Chọn A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B'C', BC. A'BA^=C'A'C^=90∘⇒A'B=A'C⇒A'N⊥BC 1. Theo bài ra BAD^=120°⇒ΔA'B'C',ΔABC đều ⇒BC⊥AN 2. Từ 1, 2⇒BC⊥AA'MN⇒AA'MN⊥BCC'B' Kẻ A'P⊥BB'C'C⇒P∈MN. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của A' lên BB'. ⇒A'AD,AA'B'B =BB'C'C,AA'B'B=A'QP^=α.tanα=A'PQP=2 ⇒A'P=a22. ⇒A'Q=a32 ⇒A'B=a3⇒A'B=a3⇒BB'=2a BB'C'C là hình chữ nhật ⇒VA'ABCC'B'=13⋅a22⋅2a⋅a=a323 ⇒VA'⋅BB'C'=VB⋅A'B'C'=a326⇒V= 6⋅VB⋅A'B'C'=6⋅a326=a32

Câu hỏi:

07/04/2023 3,898

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, $\hat{B A D} = 120^{\circ} .$ Biết $\hat{A' B A} = \hat{C' A' C} = 90^{\circ},$ góc giữa hai mặt phẳng (A'AD) và (ABB'A') bằng a với $\tan α = \sqrt{2} .$ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'

A. $\sqrt{2} a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Thái Bình (Lần 2) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, Biết góc A'BA = C'A'C = 90 độ góc giữa hai mặt phẳng (A'AD) và (ABB'A') bằng a với (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B'C', BC.

$\hat{A' B A} = \hat{C' A' C} = 90^{\circ} \Rightarrow A' B = A' C \Rightarrow A' N ⊥ B C (1)$ .

Theo bài ra $\hat{B A D} = 120^{°} \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'}, Δ A B C$ đều $\Rightarrow B C ⊥ A N (2)$ .

Từ $(1), (2) \Rightarrow B C ⊥ (A A' M N) \Rightarrow (A A' M N) ⊥ (B C C' B')$

Kẻ $A^{'} P ⊥ (B B^{'} C^{'} C) \Rightarrow P \in M N$ . Gọi Q là hình chiếu vuông góc của A' lên BB'.

$\Rightarrow ((A^{'} A D), (A A^{'} B^{'} B)) = ((B B^{'} C^{'} C), (A A^{'} B^{'} B)) = \hat{A^{'} Q P} = α . \tan α = \frac{A^{'} P}{Q P} = \sqrt{2} \Rightarrow A^{'} P = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \Rightarrow A^{'} Q = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A^{'} B = a \sqrt{3} \Rightarrow A^{'} B = a \sqrt{3} \Rightarrow B B^{'} = 2 a$

BB'C'C là hình chữ nhật

\Rightarrow V_{A' A B C C' B'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot 2 a \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

\Rightarrow V_{A^{'} \cdot B B^{'} C^{'}} = V_{B \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} \Rightarrow V = 6 \cdot V_{B \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = 6 \cdot \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} = a^{3} \sqrt{2}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trong 3 lần gieo là một số lẻ.

A. $\frac{7}{8}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{8}$

Lời giải

Chọn D

Số kết quả của việc gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất 3 lần là $6^{3} = 216 \Rightarrow n (Ω) = 216$

Gọi A là biến cố: “tích số chấm xuất hiện trong 3 lần gieo là một số lẻ”.

A xảy ra khi kết quả của cả ba lần gieo đều là số lẻ $\Rightarrow n (A) = 3^{3} = 27$ .

Vậy

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1}{8}

Câu 2

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BCC'B') bằng 30^o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{a^{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Lời giải

Chọn C

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BCC'B') bằng 30o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC suy ra $A M ⊥ B C$ .

Khi đó $\{\begin{cases} A M ⊥ B C \\ A M ⊥ B B^{'} \end{cases}$ nên $A M ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ do đó $(A B^{'}, (B C C^{'} B^{'})) = (A B^{'}, M B^{'}) = \hat{A B^{'} M}$ .

Theo đề bài, ta có $\hat{A B^{'} M} = 30 °, A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên $B M = \frac{A M}{\tan 30 °} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 a}{2}$ .

Ta có $B B^{'} = \sqrt{B^{'} A^{2} - B M^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B B^{'} . S_{A B C} = a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$ .

Câu 3

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D' .$ Góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $A' D$ bằng

A. $60 °$

B. $30 °$

C. $45 °$

D. $90 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} - 2 m x^{2} + (m - 5) x + 1$ nghịch biến trên R là:

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng $\frac{2 \sqrt{3} a}{3} .$ Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp.

A. $60 °$

B. $30 °$

C. $45 °$

D. $90 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ bên.

Hàm số $g (x) = f (x) - \frac{1}{x}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;3)

B. (0;7)

C. $(- \infty; - 1)$

D. $(3; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \log_{3} x$

B. $y = 3^{x}$

C. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

D. $y = x^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học