Cho phương trình x2 − (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2. Tìm m thỏa mãn x1−x2 có giá trị nhỏ nhất.

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì ⇔Δ=2m+52−42m+1>0x1+x2=2m+5>0x1x2=2m+1>0 ⇔4m2+12m+21>0m>−52m>−12⇒m>−12. Đặt A=x1−x2>0 ⇔A2=x1+x2−2x1x2 ⇔A2=2m+5−22m+1 ⇔A2=2m+1−22m+1+1+3 ⇔A2=2m+1−12+3≥3 ⇒A≥3⇒Amin=3 khi 2m+1=1⇒m=0 . Vậy GTNN của x1−x2 bằng 3 khi m = 0.

Câu hỏi:

13/07/2024 6,049

Cho phương trình x²− (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm dương phân biệt x₁, x₂. Tìm m thỏa mãn $|\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}|$ có giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 > 0 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \\ m > - \frac{5}{2} \\ m > - \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow m > - \frac{1}{2}$ .

Đặt $A = |\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}| > 0$

$\Leftrightarrow A^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}}$

$\Leftrightarrow A^{2} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$\Leftrightarrow A^{2} = 2 m + 1 - 2 \sqrt{2 m + 1} + 1 + 3$

$\Leftrightarrow A^{2} = {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3$

$\Rightarrow A \geq \sqrt{3} \Rightarrow A_{\min} = \sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Rightarrow m = 0$ .

Vậy GTNN của $|\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}|$ bằng $\sqrt{3}$ khi m = 0.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 2 < x₂.

Xem đáp án

Lời giải

b) Áp dụng định lý Vi-ét với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 5 \end{cases}$ .

Khi đó, để x₁ < 2 < x₂ Û (x₁ − 2)(x₂ − 2) < 0

Û x₁x₂ − 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

Û 2m − 5 − 4(m − 1) + 4 < 0

Û − 2m + 3 < 0 .

Vậy $m > \frac{3}{2}$ là giá trị của m thỏa mãn.

Câu 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 4), B(−1; 4), C(−5; 1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì: $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (2 + 1; 4 - 4)$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (3; 0)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} + 5 = 3 \\ y_{D} - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} = - 2 \\ y_{D} = 1 \end{cases}$

Vậy D(−2; 1).

Câu 3