Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho $A D = \frac{a}{2}$ . Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

AB ^ AC Û $\vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$ (vì D thuộc AC)

Vì M là trung điểm của BC nên ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Lại có: $\vec{B D} = \vec{A D} - \vec{A B}$ (quy tắc ba điểm).

Khi đó ta có: $2 \vec{A M} . \vec{B D}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A D} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - {\vec{A B}}^{2} + \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A C} . \vec{A B}$

$= 0 - A B^{2} + A C . A D . \cos 0 ° - 0$

$= - a^{2} + 2 a . \frac{a}{2} = 0$ .

Vậy

\vec{A M} . \vec{B D} = 0 \Leftrightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{B D} \Leftrightarrow A M ⊥ C D

(đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

b) Áp dụng định lý Vi-ét với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 5 \end{cases}$ .

Khi đó, để x₁ < 2 < x₂ Û (x₁ − 2)(x₂ − 2) < 0

Û x₁x₂ − 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

Û 2m − 5 − 4(m − 1) + 4 < 0

Û − 2m + 3 < 0 .

Vậy $m > \frac{3}{2}$ là giá trị của m thỏa mãn.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì: $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (2 + 1; 4 - 4)$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (3; 0)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} + 5 = 3 \\ y_{D} - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} = - 2 \\ y_{D} = 1 \end{cases}$

Vậy D(−2; 1).

Câu 3