Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ và f(x)>0,$\forall \mathrm{x}\in$$\left(0;+\infty \right)$ thỏa mãn $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{x}.{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)$ $\forall \mathrm{x}\in$$\left(0;+\infty \right)$, biết $\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{2}{\mathrm{a}+3}$ và $\mathrm{f}\left(2\right)>\frac{1}{4}$. Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\left[\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+1=x^2\left[1-f\left(x\right).f"\left(x\right)\right]$ với mọi x dương. Biết f(1) = f'(1) = 1 . Giá trị ${\mathrm{f}}^2\left(2\right)$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [1/3; 3] thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}$. Giá trị tích phân $\mathrm{I}={\int }_1^3\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ bằng

Cho hai hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^4+{\mathrm{bx}}^3+{\mathrm{cx}}^2+\mathrm{dx}+\mathrm{e}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{mx}}^3+{\mathrm{nx}}^2+\mathrm{px}+1$ với a, b, c, d, e, m, n, plà các số thực. Đồ thị của hai hàm số y = f'(x), y = g'(x) như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình f(x) + q= g(x) + e bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $3{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)-4{\mathrm{xe}}^{-{\mathrm{f}}^3\left(\mathrm{x}\right)+2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}=1=\mathrm{f}\left(0\right)$.Biết rằng $\mathrm{I}={\int }_0^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}\left(4\mathrm{x}+1\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số tối giản. Tính T = a-3b

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức $\mathrm{I}={\int }_0^4\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}-2\right)\mathrm{dx}+{\int }_0^2\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)\mathrm{dx}$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới

Biết $\mathrm{F}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\forall \mathrm{x}\in \left[-5;2\right]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=\frac{14}{3}$. Tính $\mathrm{F}\left(2\right)-\mathrm{F}\left(-5\right)$.

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn

${\int }_{-1/2}^{1/2}\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right).\left(3-x\right)\right]dx=-\frac{109}{12}$. Tính ${\int }_0^{1/2}\frac{f\left(x\right)}{x^2-1}dx$.