Câu hỏi:

13/07/2024 8,959

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ , rồi suy ra cosA

b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC}$

c) Tính giá trị biểu thức S = $\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA}$

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính $\overrightarrow {A{\rm{D}}}$ theo $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC}$ suy ra AD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2}$

Suy ra $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2} = \frac{{{3^2} + {2^2} - {4^2}}}{2} = \frac{{ - 3}}{2}$

Suy ra cos A = $\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{2}}}{{3.2}} = \frac{{ - 1}}{4}$

b) Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

Ta có $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{3}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{1}{3}.(9 - 4) = \frac{5}{3}$

c) Gọi m_a, m_b, m_c lần lượt là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C

Ta có ${m_a} = \sqrt {\frac{{2(A{C^2} + A{B^2}) - B{C^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2({3^2} + {2^2}) - {4^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$

Suy ra AG = $\frac{2}{3}{m_a} = \frac{{\sqrt {10} }}{3}$

Ta có ${m_b} = \sqrt {\frac{{2(B{C^2} + A{B^2}) - A{C^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2({4^2} + {2^2}) - {3^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {31} }}{2}$

Suy ra BG = $\frac{2}{3}{m_b} = \frac{{\sqrt {31} }}{3}$

Ta có ${m_c} = \sqrt {\frac{{2(A{C^2} + B{C^2}) - A{B^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2({3^2} + {4^2}) - {2^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {46} }}{2}$

Suy ra CG = $\frac{2}{3}{m_c} = \frac{{\sqrt {46} }}{3}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

Suy ra ${(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )^2} = \overrightarrow 0$

$ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GA.} \overrightarrow {GC} = 0$

$\Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2S = 0$

$\Leftrightarrow S = - \frac{{G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}}{2} = - \frac{{29}}{6}$

d) Vì AD là phân giác trong của $\widehat {BAC}$

Nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3}$

Vì D thuộc BC nên $3\overrightarrow {DB} = - 2\overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} ) = - 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} )$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {A{\rm{D}}} = - 2\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {A{\rm{D}}}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}$

Suy ra AD² = $\frac{9}{{25}}A{B^2} + \frac{{12}}{{25}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{4}{{25}}A{C^2} = \frac{9}{{25}}{2^2} + \frac{{12}}{{25}}.\frac{{ - 3}}{2} + \frac{4}{{25}}{3^2} = \frac{{54}}{{25}}$

Vậy AD = $\frac{{\sqrt {54} }}{5}$ .

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R):

a) y = f(x) = $\frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + 3m + 5}}$

b) y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + m - 6}$

c) y = f(x) = $\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 33,950

Câu 2:

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF}$

Xem đáp án » 13/07/2024 17,058

Câu 3:

Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,016

Câu 4:

Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) không quá 2 phế phẩm.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,841

Câu 5:

Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) y = 3x² – 2x + 1

b) y = $\frac{{3\left| x \right| + 2}}{{x - 2}}$

c) y = $\sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x}$

d) y = $\frac{{\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }}}}{x}$

e) y = $\frac{{\sqrt {x + 3} }}{{2 - x}}$

f) y = $\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}}$

g) y = $\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}} - 3x$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,695

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD

b) Tính góc B và góc D (biết $\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ$ ).

Xem đáp án » 13/07/2024 3,877

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: →AB+→CD+→EF=→AD+→EB+→CF\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF}

Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có a) 2 phế phẩm b) không quá 2 phế phẩm.

Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều) a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD b) Tính góc B và góc D (biết ˆA=100∘,ˆC=60∘\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ ).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF}$

Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) không quá 2 phế phẩm.

Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD

b) Tính góc B và góc D (biết $\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ$ ).