Câu hỏi:
13/07/2024 1,035
Cho x, y > 0; x + y ≤ 1. Tìm GTNN của \(M = xy + \frac{9}{{xy}}\).
Cho x, y > 0; x + y ≤ 1. Tìm GTNN của \(M = xy + \frac{9}{{xy}}\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(M = xy + \frac{9}{{xy}} = xy + \frac{1}{{16xy}} + \frac{{143}}{{16xy}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
\[{\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{1}{{16{\rm{x}}y}}} \]
\[ \Leftrightarrow {\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Với x, y > 0 ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (BĐT Cosi)
Mà x + y ≤ 1 nên \(2\sqrt {xy} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {xy} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{143}}{{16}}.\frac{1}{{xy}} \ge \frac{{143}}{{16}}.4 = \frac{{143}}{4}\)
Do đó \(\frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{{143}}{4}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(xy + \frac{1}{{16xy}} + \frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{1}{2} + \frac{{143}}{4} = \frac{{145}}{4}\)
Do đó \(M \ge \frac{{145}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{1}{{16xy}}\\x + y = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{145}}{4}\) khi \(x = y = \frac{1}{2}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,077
Câu 2:
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Xem đáp án »
25/04/2023
9,517
Câu 3:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Xem đáp án »
25/04/2023
8,079
Câu 4:
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Xem đáp án »
25/04/2023
5,147
Câu 5:
Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)
a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.
b) A ∩ B ≠ ∅.
c) A ∩ B = ∅.
Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)
a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.
b) A ∩ B ≠ ∅.
c) A ∩ B = ∅.
Xem đáp án »
13/07/2024
4,213
Câu 6:
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,183
Câu 7:
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,056
về câu hỏi!