a) Xét tứ giác BHCK có:               

MH = MK và MB = MI

Suy ra: BHCK là hình bình hành.

b) Vì BHCK là hình bình hành (chứng minh câu a) 

Suy ra: BK // HC và CK // BH (tính chất hình bình hành)

Mà CH ⊥ AB và BH ⊥ AC

Suy ra: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC.

c) Vì I đối xứng với H qua BC nên BC là đường trung trực của HI 

Mà M thuộc BC, suy ra MH = MI (tính chất đường trung trực) 

Mà \[MH = MK = \frac{1}{2}HK\]

Suy ra: \[MI = MH = MK = \frac{1}{2}HK\]

Do đó tam giác HIK vuông tại I hay HI ⊥ IK

Mà BC ⊥ HI (do BC là đường trung trực của HI)

Suy ra IK // BC 

Do đó BIKC là hình thang                  (1) 

Ta có BC là đường trung trực của HI, suy ra CI = CH 

Mà CH = BK (vì BKCH là hình bình hành) 

Suy ra BK = CI                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra BICK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

d) Gọi giao điểm của BC và HI là J.

Vì BK // CH nên GHCK là hình thang

Để hình thang GHCK là hình thang cân thì \(\widehat {GHC} = \widehat {KCH}\)

Mà \(\widehat {HCK} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) và \(\widehat {GHC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (vì tam giác HJC vuông tại J)

Suy ra \(\widehat {HCA} = \widehat {HCB}\)

Do đó CH là đường phân giác của tam giác ABC 

Lại có CH là đường cao của tam giác ABC 

Suy ra tam giác ABC cân tại C

Vậy tam giác ABC cân tại C thì GHCK là hình thang cân.

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Xét DDAE và DDCF có

AD = CD (chứng minh trên);

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DCF}\left( { = 90^\circ } \right)\);

AE = CF (giả thiết).

Suy ra DDAE = DDCF (c.g.c)

Do đó DE = DF (1) và \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {C{\rm{D}}F}\)                          

Ta có \(\widehat {A{\rm{D}}E} + \widehat {C{\rm{DE}}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {C{\rm{D}}F} + \widehat {C{\rm{DE}}} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {E{\rm{D}}F} = 90^\circ \)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác EDF vuông cân tại D.

b) Xét tam giác EBF vuông tại B có BI là trung tuyến, suy ra \[BI = \frac{1}{2}EF\]

Xét tam giác EDF vuông tại D có BI là trung tuyến, suy ra \[DI = \frac{1}{2}EF\]

Do đó BI = DI.

c) Xét hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Suy ra O là trung điểm của BD

Do đó O thuộc đường trung trực của BD

Vì BI = DI nên I thuộc đường trung trực của BD

Vì CD = CB nên C thuộc đường trung trực của BD

Suy ra O, I, C cùng thuộc đường trung trực của BD.

Vậy O, I, C thẳng hàng.