Câu hỏi:
12/07/2024 15,349
Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (D nằm giữa A và E).
a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: OA ⊥ BC tại H và OD2 = OH . OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng với tam giác ODA.
c) Chứng minh CB trùng với tia phân giác của góc DHE.
d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: D là trung điểm của MN.
Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (D nằm giữa A và E).
a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: OA ⊥ BC tại H và OD2 = OH . OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng với tam giác ODA.
c) Chứng minh CB trùng với tia phân giác của góc DHE.
d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: D là trung điểm của MN.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ OB, AC ⊥ OC
Do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Suy ra A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A, suy ra AB = AC
Hay A thuộc trung trực của BC
Mà O thuộc trung trực của BC (vì OB = OC)
Suy ra AO là trung trực của BC
Do đó AO ⊥ BC.
Xét tam giác ABO vuông tại B có BH ⊥ AO
Suy ra OB2 = OH . OA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà OB = OD (cùng là bán kính của (O)).
Suy ra OD2 = OH . OA.
Do đó \(\frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{O{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác OHD và tam giác ODA có
\(\frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{O{\rm{D}}}}\) (Chứng minh trên)
\(\widehat {DOA}\) là góc chung
Suy ra (c.g.c)
c) Ta có OB2 = OH . OA (chứng minh câu b)
Mà OB = OE, suy ra OE2 = OH . OA
Do đó \(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OA}}\)
Xét tam giác OHE và tam giác OEA có
\(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OA}}\) (Chứng minh trên)
\(\widehat {EOA}\) là góc chung
Suy ra (c.g.c)
Do đó \(\widehat {EHO} = \widehat {A{\rm{E}}O}\) (hai góc tương ứng)
Mặt khác \(\widehat {DEO} = \widehat {EDO}\) (vì tam giác ODE cân tại O)
Suy ra \(\widehat {EHO} = \widehat {{\rm{ED}}O}\)
Xét tứ giác HDEO có \(\widehat {EHO} = \widehat {{\rm{ED}}O}\), mà hai góc này cùng nhìn cạnh EO trong tứ giác
Suy ra tứ giác HDEO nội tiếp
Do đó \(\widehat {DHA} = \widehat {AEO} = \widehat {OHE}\)
Suy ra \(\widehat {DHB} = \widehat {BHE}\) nên \(HB\) là tia phân giác của góc DHE.
Hay CB trùng với tia phân giác của góc DHE.
d) Gọi G là giao điểm của BC và AE
Do HG là tia phân giác của \(\widehat {DHE}\)nên \(\frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}} = \frac{{HD}}{{HE}}\) (1)
Mà HA ⊥ HG
Suy ra HA là tia phân giác ngoài của tam giác HED
Do đó \(\frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}} = \frac{{H{\rm{D}}}}{{HE}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}}\left( { = \frac{{H{\rm{D}}}}{{HE}}} \right)\) (3)
Xét DABE có DM // BE nên \(\frac{{M{\rm{D}}}}{{BE}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}}\) (hệ quả định lí Thales) (4)
Xét DGBE có DN // BE nên \(\frac{{{\rm{ND}}}}{{BE}} = \frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}}\) (hệ quả định lí Thales) (5)
Từ (3), (4) và (5), suy ra \(\frac{{{\rm{MD}}}}{{BE}} = \frac{{{\rm{ND}}}}{{{\rm{BE}}}}\)
Hay MD = ND
Do đó D là trung điểm của MN
Vậy D là trung điểm của MN.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho HM = MK.
a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Chứng minh BK vuông góc AB và CK vuông góc AC.
c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: Tứ giác BIKC là hình thang cân.
d) BK cắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho HM = MK.
a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Chứng minh BK vuông góc AB và CK vuông góc AC.
c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: Tứ giác BIKC là hình thang cân.
d) BK cắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân.
Xem đáp án »
12/07/2024
26,537
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Xem đáp án »
12/07/2024
15,664
Câu 3:
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF.
a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
b) Chứng minh MN vuông góc AF.
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF.
a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
b) Chứng minh MN vuông góc AF.
Xem đáp án »
12/07/2024
10,469
Câu 4:
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA.
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,517
Câu 5:
Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.
b) AM = AN.
c) AI vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.
b) AM = AN.
c) AI vuông góc với BC.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,816
Câu 6:
Số tự nhiên thích hợp để điền vào dãy số sau: 3, 17, 59, 185, 563, ... là số nào?
Số tự nhiên thích hợp để điền vào dãy số sau: 3, 17, 59, 185, 563, ... là số nào?
Xem đáp án »
12/07/2024
4,757
về câu hỏi!