Câu hỏi:
12/07/2024 2,301Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\), đường cao AH. Kẻ HK ⊥ AC (K ∈ AC).
a) Tính HC, HK, \(\widehat C\) nếu AH = 20 cm, AC = 25 cm.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AH, đường thẳng này cắt AC tại điểm E. Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC). Chứng minh \(B{H^2} = \frac{{C{\rm{D}}.CE}}{4}\).
c) Gọi O là giao điểm của BD và AH. Chứng minh \(\frac{{BO}}{{DO}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{A{\rm{D}}}}\).
d) Kẻ KF ⊥ BC (F ∈ BC). Chứng minh CF = AC. sin3E.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Xét tam giác AHC vuông ở H ta có
AC2 = AH2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay 252 = 202 + HC2
Suy ra HC = 15 (cm).
Xét tam giác AHC vuông ở H có HK ⊥ AC
Suy ra \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{H{C^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{{{20}^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}\)
Suy ra HK = 12
Xét tam giác AHC có \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{20}}{{25}}\)
Suy ra \(\widehat C \approx 53^\circ \)
b) Ta có BE // AH, AH ⊥ BC
Suy ra BE ⊥ BC
Hay tam giác BCE vuông tại B có BD ⊥ AC (giả thiết)
Suy ra BC2 = CD . CE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⟺ (2BH)2 = CD . CE
⟺ 4BH2 = CD . CE
⟺ \(B{H^2} = \frac{{C{\rm{D}}.CE}}{4}\)
c) Kẻ AT // BD (T ∈ BE)
Mà BD ⊥ AC suy ra AT ⊥ AC, hay \(\widehat {E{\rm{A}}T} = 90^\circ \).
Xét tứ giác ATB có AT // BO, BT // AO
Suy ra ATBO là hình bình hành
Do đó AT = BO (tính chất hình bình hành)
Vì AH // BE nên \(\widehat {CAH} = \widehat {AEB}\) (hai góc đồng vị)
Xét DEAT và DOAD có
\(\widehat {CAH} = \widehat {AEB}\) (cmt);
\(\widehat {E{\rm{A}}T} = \widehat {{\rm{ADO}}} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AT}}{{{\rm{DO}}}} = \frac{{{\rm{EA}}}}{{A{\rm{D}}}}\) (tỉ số đồng dạng)
Mà AT = BO (chứng minh trên)
Suy ra \(\frac{{OB}}{{O{\rm{D}}}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{A{\rm{D}}}}\).
d) Xét tam giác KFC có CF = CK . sin \(\widehat {CKF}\)
Xét tam giác KHC có CK = HC . sin \(\widehat {KHC}\)
Xét tam giác AHC có HC = AC . sin \(\widehat {HAC}\)
Suy ra \(CF = AC.\sin \widehat {HAC}.\sin \widehat {KHC}.\sin \widehat {CKF}\)
Mà \(\widehat {HAC} = \widehat E\) (hai góc đồng vị);
\(\widehat {KHC} = \widehat E\) (cùng phụ với góc \(\widehat C\));
\(\widehat {CKF} = \widehat E\) (cùng phụ với góc \(\widehat C\))
Do đó CF = AC. sin3E
Vậy CF = AC. sin3E.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF.
a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
b) Chứng minh MN vuông góc AF.
Câu 5:
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA.
Câu 6:
Câu 7:
Số tự nhiên thích hợp để điền vào dãy số sau: 3, 17, 59, 185, 563, ... là số nào?
về câu hỏi!