Câu hỏi:

26/04/2023 2,154 Lưu

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H kẻ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt AC tại E, AB tại D.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Biết AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính BC, DM, DM + EN?

c) Chứng minh rằng: Tứ giác DMNE là hình thang.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H kẻ các đường thẳng song (ảnh 1)

a) Xét tứ giác ADHE có AD // EH và DH // AE

Suy ra ADHE là hình bình hành

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = 90^\circ \)

Suy ra ADHF là hình chữ nhật.

b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có:

BC2 = AB2 + AC2

Thay số: BC2 = 62 + 82 = 100

Suy ra BC = 10

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH . BC = AB . AC

Thay số: AH . 10 = 6 . 8

Suy ra AH = 4,8

Vì tam giác ABH vuông tại H, theo định lý Pytago ta có

AB2 = AH2 + HB2

Thay số: 62 = 4,82 + HB2

Suy ra BH = 3,6

Vì tam giác BHD vuông tại D có DM là trung tuyến

Suy ra \[DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.3,6 = 1,8\]

Ta có CH = BC – BH = 10 – 4,8 = 5,2.

Vì tam giác CHE vuông tại E có EN là trung tuyến

Suy ra \[EN = NH = \frac{1}{2}CH = \frac{1}{2}.5,2 = 2,6\].

Ta có DM + EN = 1,8 + 2,6 = 4,4 (cm)

c) Gọi O là giao điểm của AH và DE.

Vì ADHE là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AH, DE và AH = DE.

Suy ra OA = OD = OE = OH

Do đó tam giác OHD cân tại O

Suy ra \(\widehat {O{\rm{D}}H} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Vì DM = MH (chứng minh câu b) nên tam giác DMH cân tại M

Suy ra \(\widehat {{\rm{MD}}H} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Ta có \(\widehat {MHD} + \widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

\(\widehat {O{\rm{D}}H} = \widehat {OH{\rm{D}}}\), \(\widehat {{\rm{MD}}H} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\widehat {MDH} + \widehat {O{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}O} = 90^\circ \)

Do đó DM DO                      (1)

Vì OE = OH

Do đó tam giác OEH cân tại O

Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)

Vì HN = EN (chứng minh câu b) nên tam giác ENH cân tại N

Suy ra \(\widehat {{\rm{NE}}H} = \widehat {NHE}\)

Ta có \(\widehat {OHE} + \widehat {EHN} = \widehat {AHN} = 90^\circ \)

\(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\), \(\widehat {{\rm{NE}}H} = \widehat {NHE}\)

Suy ra \(\widehat {OEH} + \widehat {OEN} = \widehat {OEN} = 90^\circ \)

Do đó EN EO                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM // EN

Vậy DENM là hình thang.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau  (ảnh 1)

a) Xét tứ giác BHCK có:               

MH = MK và MB = MI

Suy ra: BHCK là hình bình hành.

b) Vì BHCK là hình bình hành (chứng minh câu a) 

Suy ra: BK // HC và CK // BH (tính chất hình bình hành)

Mà CH AB và BH AC

Suy ra: BK AB và CK AC.

c) Vì I đối xứng với H qua BC nên BC là đường trung trực của HI 

Mà M thuộc BC, suy ra MH = MI (tính chất đường trung trực) 

\[MH = MK = \frac{1}{2}HK\]

Suy ra: \[MI = MH = MK = \frac{1}{2}HK\]

Do đó tam giác HIK vuông tại I hay HI IK

Mà BC HI (do BC là đường trung trực của HI)

Suy ra IK // BC 

Do đó BIKC là hình thang                  (1) 

Ta có BC là đường trung trực của HI, suy ra CI = CH 

Mà CH = BK (vì BKCH là hình bình hành) 

Suy ra BK = CI                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra BICK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

d) Gọi giao điểm của BC và HI là J.

Vì BK // CH nên GHCK là hình thang

Để hình thang GHCK là hình thang cân thì \(\widehat {GHC} = \widehat {KCH}\)

\(\widehat {HCK} + \widehat {HCA} = 90^\circ \)\(\widehat {GHC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (vì tam giác HJC vuông tại J)

Suy ra \(\widehat {HCA} = \widehat {HCB}\)

Do đó CH là đường phân giác của tam giác ABC 

Lại có CH là đường cao của tam giác ABC 

Suy ra tam giác ABC cân tại C

Vậy tam giác ABC cân tại C thì GHCK là hình thang cân.

Lời giải

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn  (ảnh 1)

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB OB, AC OC

Do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Suy ra A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A, suy ra AB = AC

Hay A thuộc trung trực của BC

Mà O thuộc trung trực của BC (vì OB = OC)

Suy ra AO là trung trực của BC

Do đó AO BC.

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH AO

Suy ra OB2 = OH . OA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà OB = OD (cùng là bán kính của (O)).

Suy ra OD2 = OH . OA.

Do đó \(\frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{O{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác OHD và tam giác ODA có

\(\frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{O{\rm{D}}}}\) (Chứng minh trên)

\(\widehat {DOA}\) là góc chung

Suy ra  (c.g.c)

c) Ta có OB2 = OH . OA (chứng minh câu b)

Mà OB = OE, suy ra OE2 = OH . OA

Do đó \(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OA}}\)

Xét tam giác OHE và tam giác OEA có

\(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OA}}\) (Chứng minh trên)

\(\widehat {EOA}\) là góc chung

Suy ra  (c.g.c)

Do đó \(\widehat {EHO} = \widehat {A{\rm{E}}O}\) (hai góc tương ứng)  

Mặt khác \(\widehat {DEO} = \widehat {EDO}\) (vì tam giác ODE cân tại O)

Suy ra \(\widehat {EHO} = \widehat {{\rm{ED}}O}\)

Xét tứ giác HDEO có \(\widehat {EHO} = \widehat {{\rm{ED}}O}\), mà hai góc này cùng nhìn cạnh EO trong tứ giác

Suy ra tứ giác HDEO nội tiếp

Do đó \(\widehat {DHA} = \widehat {AEO} = \widehat {OHE}\)

Suy ra \(\widehat {DHB} = \widehat {BHE}\) nên \(HB\) là tia phân giác của góc DHE.

Hay CB trùng với tia phân giác của góc DHE.

d) Gọi G là giao điểm của BC và AE

Do HG là tia phân giác của \(\widehat {DHE}\)nên \(\frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}} = \frac{{HD}}{{HE}}\) (1)

Mà HA HG

Suy ra HA là tia phân giác ngoài của tam giác HED

Do đó \(\frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}} = \frac{{H{\rm{D}}}}{{HE}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}}\left( { = \frac{{H{\rm{D}}}}{{HE}}} \right)\) (3)

Xét DABE có DM // BE nên \(\frac{{M{\rm{D}}}}{{BE}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{A{\rm{E}}}}\) (hệ quả định lí Thales) (4)

Xét DGBE có DN // BE nên \(\frac{{{\rm{ND}}}}{{BE}} = \frac{{{\rm{GD}}}}{{{\rm{GE}}}}\) (hệ quả định lí Thales) (5)

Từ (3), (4) và (5), suy ra \(\frac{{{\rm{MD}}}}{{BE}} = \frac{{{\rm{ND}}}}{{{\rm{BE}}}}\)

Hay MD = ND

Do đó D là trung điểm của MN

Vậy D là trung điểm của MN.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP