Câu hỏi:
26/04/2023 2,628Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a) Biết AB = 5, IC = 6. Tính BC.
b) Biết \(IB = \sqrt 5 ,IC = \sqrt {10} \).Tính độ dài AB, AC.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì AI là phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_1}} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Vì BI là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)
Vì CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)
Gọi giao điểm của BI và AC là M.
Vì \(\widehat {{I_1}}\) là góc ngoài của tam giác BIC
Nên \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Xét DICM và DACI có
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{I_1}}\left( { = 45^\circ } \right)\);
\(\widehat {IC{\rm{A}}}\) là góc chung
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CI}}\) (tỉ số đồng dạng)
Hay CI2 = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36
Suy ra \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\).
Do BM là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có
\(\frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BA + BC}} = \frac{{CM}}{{MA + CM}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{5 + BC}} = \frac{{CM}}{{AC}}\)
Mà \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\)
Suy ra \(\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC\left( {BC - 5} \right)}}{{B{C^2} - 25}}\)
Suy ra BC(BC – 5) = 36
Hay BC2 – 5BC – 36 = 0
Suy ra BC = 9 (do BC > 0).
b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.
Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao
Suy ra tam giác BCK cân tại B
Do đó BH là trung tuyến và BK = BC
Hay \[CH = HK = \frac{1}{2}CK\]
Đặt BC = x
Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB
Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat {BKC}\))
Mà \(\widehat {ABM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {HCM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Ta có \(\widehat {HCI} = \widehat {HCM} + \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)
Xét tam giác ICH vuông ở H có
\(\widehat {HIC} + \widehat {HCI} = 90^\circ \) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {HCI} = 45^\circ \) nên \(\widehat {HIC} = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HCI} = \widehat {HIC}\)
Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC
Xét tam giác ICH vuông ở H có
IC2 = HI2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay 10 = 2HI2 (do \(IC = \sqrt {10} \))
Suy ra \[HI = HC = \sqrt 5 \]
Ta có \[BH = BI + IH = \sqrt 5 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \];
\[CK = 2CH = 2\sqrt 5 \]
Xét tam giác BCH vuông ở H có
BC2 = HB2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay BC2 = 20 + 5
Suy ra BC = 5.
Xét tam giác BCA vuông ở A có
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pytago)
Hay 52 = AB2 + AC2 = 25
Xét tam giác AKC vuông ở A có
KC2 = AK2 + AC2 (định lí Pytago)
⇔ 20 = (BC – AB)2 + AC2
⇔ 20 = (5 – AB)2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + AB2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + 25
⇔ AB = 3
Khi đó \(AC = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
Vậy AB = 3, AC = 4.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính AC, BH, HC, AH.
b) BH = 1 cm, AH = 2 cm. Tính HC, AC, BA, BC.
c) BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tính BC, AB, AH, AC.
d) BH = 9 cm, AC = 20 cm. Tính HC, AH, AB, BC.
Câu 2:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC. Nối AF với BE.
a) Chứng minh AF = BE . cosC.
b) Biết BC =10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin góc AOB.
Câu 3:
Tìm số lớn nhất có 3 chữ số biết, khi chia cho 75 thì thương và số dư bằng nhau.
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC với điểm A(– 2; 1), điểm B thuộc đường thẳng D: 2x – y – 5 = 0. Tìm quỹ tích đỉnh C.
Câu 5:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\).
Câu 6:
Cho tam giác ABC có AC = 7, AB = 5 và \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính BC, S, ha, R.
về câu hỏi!