Câu hỏi:

12/07/2024 3,423 Lưu

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có

VP = cosA + cosB + cosC

=\(2\cos \frac{{A + B}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)

\( = 2\cos \frac{{180^\circ - C}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)

\[ = 2\cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {2.\frac{C}{2}} \right)\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {cos\frac{{A - B}}{2} - \sin \frac{C}{2}} \right) + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {2\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}} \right) + 1\]

\[ = 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} + 1\]               (1)

Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)\(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{abc}}{{4{\rm{R}}{\rm{.}}\frac{{a + b + c}}{2}}}\)

\( = \frac{{\sin {\rm{A}}.2{\rm{R}}.\sin B.2{\rm{R}}.\sin C.2{\rm{R}}}}{{2{\rm{R}}\left( {\sin {\rm{A}}2{\rm{R}} + \sin B.2{\rm{R + }}\sin C.2{\rm{R}}} \right)}}\)

\( = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{\sin {\rm{A}} + \sin B + \sin C}}\)

Ta có: \(\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{{A + B}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin C\)

\( = 2\sin \frac{{180^\circ - C}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {2\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right)\)

\( = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

Suy ra

\(r = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)

\(r = \frac{{2{\rm{R}}{\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{A}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{B}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)

\(r = 4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\)

Suy ra \(1 + \frac{r}{R} = 1 + \frac{{4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}}{R} = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\)

Vậy \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác (ảnh 1)

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì AI là phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_1}} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Vì BI là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Gọi giao điểm của BI và AC là M.

\(\widehat {{I_1}}\) là góc ngoài của tam giác BIC

Nên \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét DICM và DACI có

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{I_1}}\left( { = 45^\circ } \right)\);

 \(\widehat {IC{\rm{A}}}\) là góc chung

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CI}}\) (tỉ số đồng dạng)

Hay CI2 = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36

Suy ra \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\).

Do BM là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có

\(\frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BA + BC}} = \frac{{CM}}{{MA + CM}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{5 + BC}} = \frac{{CM}}{{AC}}\)

\(CM = \frac{{36}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC\left( {BC - 5} \right)}}{{B{C^2} - 25}}\)

Suy ra BC(BC – 5) = 36

Hay BC2 – 5BC – 36 = 0

Suy ra BC = 9 (do BC > 0).

b) Kẻ CH BI và CH cắt BA tại K.

Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao

Suy ra tam giác BCK cân tại B

Do đó BH là trung tuyếnBK = BC

Hay \[CH = HK = \frac{1}{2}CK\]

Đặt BC = x

Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat {BKC}\))

\(\widehat {ABM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {HCM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Ta có \(\widehat {HCI} = \widehat {HCM} + \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)

Xét tam giác ICH vuông ở H có

\(\widehat {HIC} + \widehat {HCI} = 90^\circ \) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\(\widehat {HCI} = 45^\circ \) nên \(\widehat {HIC} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HCI} = \widehat {HIC}\)

Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC

Xét tam giác ICH vuông ở H có

IC2 = HI2 + HC2 (định lí Pytago)

Hay 10 = 2HI2 (do \(IC = \sqrt {10} \))

Suy ra \[HI = HC = \sqrt 5 \]

Ta có \[BH = BI + IH = \sqrt 5 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \];

          \[CK = 2CH = 2\sqrt 5 \]

Xét tam giác BCH vuông ở H có

BC2 = HB2 + HC2 (định lí Pytago)

Hay BC2 = 20 + 5

Suy ra BC = 5.

Xét tam giác BCA vuông ở A có

BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pytago)

Hay 52 = AB2 + AC2 = 25

Xét tam giác AKC vuông ở A có

KC2 = AK2 + AC2 (định lí Pytago)

20 = (BC – AB)2 + AC2

20 = (5 – AB)2 + AC2

20 = 25 – 10AB + AB2 + AC2

20 = 25 – 10AB + 25

AB = 3

Khi đó \(AC = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Vậy AB = 3, AC = 4.

Lời giải

Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF (ảnh 1)

a) Xét tam giác CEF vuông ở F có \(\cos C = \frac{{CF}}{{CE}}\)

Xét tam giác CEF và tam giác CBA có

\(\widehat C\) là góc chung;

\(\widehat {BAC} = \widehat {{\rm{EF}}C} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\)

Xét tam giác AFC và tam giác BEC có

\(\widehat C\) là góc chung;

\(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}}\)

Mà cosC = \(\frac{{CF}}{{CE}}\)

Suy ra AF = BE . cosC.

b) Vì tam giác ABC vuông tại A

Suy ra AB = BC . sinC = 10 . 0,6 = 6.

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago có

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)

Mà E là trung điểm AC nên AE = EC = 4

Vì tam giác FEC vuông tại F

Suy ra FE = EC . sinC = 4 . 0,6 = 2,4

Xét tam giác FEC vuông tại F, theo định lí Pytago có

EC2 = FE2 + FC2

Suy ra \(FC = \sqrt {E{C^2} - F{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{4^2} - 2,{4^2}} = 3,2\)

Khi đó BF = BC – FC = 10 – 3,2 = 6,8

Ta có SABFE = SABE + SBFE

\( = \frac{1}{2}AB.AE + \frac{1}{2}BF.FE\)

\( = \frac{1}{2}.6.4 + \frac{1}{2}.6,8.2,4 = 20,16\left( {c{m^2}} \right)\)

c) Ta có \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}} = \frac{{3,2}}{4}\)

Suy ra AF = 0,8BE

Vì tam giác ABE vuông tại A nên

BE2 = AB2 + AE2

Hay BE2 = 62 + 42

suy ra \(BE = \sqrt {52} \)

Ta có \[{S_{ABFE}} = \frac{1}{2}AF.BE.\sin \widehat {AOB}\]

\( \Leftrightarrow 20,16 = \frac{1}{2}.0,8.\sqrt {52} .\sqrt {52} .\sin \widehat {AOB}\)

\( \Leftrightarrow \sin \widehat {AOB} = \frac{{20,16}}{{20,8}} = \frac{{63}}{{65}}\) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP