Câu hỏi:
12/07/2024 3,179Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có
VP = cosA + cosB + cosC
=\(2\cos \frac{{A + B}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)
\( = 2\cos \frac{{180^\circ - C}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)
\[ = 2\cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {2.\frac{C}{2}} \right)\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {cos\frac{{A - B}}{2} - \sin \frac{C}{2}} \right) + 1\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right] + 1\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right] + 1\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right] + 1\]
\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {2\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}} \right) + 1\]
\[ = 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} + 1\] (1)
Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\) và \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{abc}}{{4{\rm{R}}{\rm{.}}\frac{{a + b + c}}{2}}}\)
\( = \frac{{\sin {\rm{A}}.2{\rm{R}}.\sin B.2{\rm{R}}.\sin C.2{\rm{R}}}}{{2{\rm{R}}\left( {\sin {\rm{A}}2{\rm{R}} + \sin B.2{\rm{R + }}\sin C.2{\rm{R}}} \right)}}\)
\( = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{\sin {\rm{A}} + \sin B + \sin C}}\)
Ta có: \(\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{{A + B}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin C\)
\( = 2\sin \frac{{180^\circ - C}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right]\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right]\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {2\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right)\)
\( = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}\)
Suy ra
\(r = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)
\(r = \frac{{2{\rm{R}}{\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{A}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{B}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)
\(r = 4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\)
Suy ra \(1 + \frac{r}{R} = 1 + \frac{{4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}}{R} = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\)
Vậy \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 13, 14, 15. Tính diện tích của tam giác đó.
Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 13, 14, 15. Tính diện tích của tam giác đó.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,736
Câu 2:
Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a) Biết AB = 5, IC = 6. Tính BC.
b) Biết \(IB = \sqrt 5 ,IC = \sqrt {10} \).Tính độ dài AB, AC.
Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a) Biết AB = 5, IC = 6. Tính BC.
b) Biết \(IB = \sqrt 5 ,IC = \sqrt {10} \).Tính độ dài AB, AC.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,687
Câu 3:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC. Nối AF với BE.
a) Chứng minh AF = BE . cosC.
b) Biết BC =10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin góc AOB.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC. Nối AF với BE.
a) Chứng minh AF = BE . cosC.
b) Biết BC =10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin góc AOB.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,261
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AC = 7, AB = 5 và \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính BC, S, ha, R.
Cho tam giác ABC có AC = 7, AB = 5 và \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính BC, S, ha, R.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,804
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính AC, BH, HC, AH.
b) BH = 1 cm, AH = 2 cm. Tính HC, AC, BA, BC.
c) BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tính BC, AB, AH, AC.
d) BH = 9 cm, AC = 20 cm. Tính HC, AH, AB, BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính AC, BH, HC, AH.
b) BH = 1 cm, AH = 2 cm. Tính HC, AC, BA, BC.
c) BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tính BC, AB, AH, AC.
d) BH = 9 cm, AC = 20 cm. Tính HC, AH, AB, BC.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,318
Câu 6:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
sin A = sinB.cosC + sinC.cosB.
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
sin A = sinB.cosC + sinC.cosB.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,974
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận