Câu hỏi:
12/07/2024 6,395
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC. Nối AF với BE.
a) Chứng minh AF = BE . cosC.
b) Biết BC =10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin góc AOB.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC. Nối AF với BE.
a) Chứng minh AF = BE . cosC.
b) Biết BC =10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin góc AOB.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tam giác CEF vuông ở F có \(\cos C = \frac{{CF}}{{CE}}\)
Xét tam giác CEF và tam giác CBA có
\(\widehat C\) là góc chung;
\(\widehat {BAC} = \widehat {{\rm{EF}}C} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\)
Xét tam giác AFC và tam giác BEC có
\(\widehat C\) là góc chung;
\(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (chứng minh trên)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}}\)
Mà cosC = \(\frac{{CF}}{{CE}}\)
Suy ra AF = BE . cosC.
b) Vì tam giác ABC vuông tại A
Suy ra AB = BC . sinC = 10 . 0,6 = 6.
Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago có
BC2 = AB2 + AC2
Suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)
Mà E là trung điểm AC nên AE = EC = 4
Vì tam giác FEC vuông tại F
Suy ra FE = EC . sinC = 4 . 0,6 = 2,4
Xét tam giác FEC vuông tại F, theo định lí Pytago có
EC2 = FE2 + FC2
Suy ra \(FC = \sqrt {E{C^2} - F{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{4^2} - 2,{4^2}} = 3,2\)
Khi đó BF = BC – FC = 10 – 3,2 = 6,8
Ta có SABFE = SABE + SBFE
\( = \frac{1}{2}AB.AE + \frac{1}{2}BF.FE\)
\( = \frac{1}{2}.6.4 + \frac{1}{2}.6,8.2,4 = 20,16\left( {c{m^2}} \right)\)
c) Ta có \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}} = \frac{{3,2}}{4}\)
Suy ra AF = 0,8BE
Vì tam giác ABE vuông tại A nên
BE2 = AB2 + AE2
Hay BE2 = 62 + 42
suy ra \(BE = \sqrt {52} \)
Ta có \[{S_{ABFE}} = \frac{1}{2}AF.BE.\sin \widehat {AOB}\]
\( \Leftrightarrow 20,16 = \frac{1}{2}.0,8.\sqrt {52} .\sqrt {52} .\sin \widehat {AOB}\)
\( \Leftrightarrow \sin \widehat {AOB} = \frac{{20,16}}{{20,8}} = \frac{{63}}{{65}}\) .
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Nửa chu vi tam giác đó là
p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21
Diện tích tam giác đó là
Vậy diện tích tam giác đó bằng 84.
Lời giải
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì AI là phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_1}} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Vì BI là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)
Vì CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)
Gọi giao điểm của BI và AC là M.
Vì \(\widehat {{I_1}}\) là góc ngoài của tam giác BIC
Nên \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Xét DICM và DACI có
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{I_1}}\left( { = 45^\circ } \right)\);
\(\widehat {IC{\rm{A}}}\) là góc chung
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CI}}\) (tỉ số đồng dạng)
Hay CI2 = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36
Suy ra \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\).
Do BM là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có
\(\frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BA + BC}} = \frac{{CM}}{{MA + CM}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{5 + BC}} = \frac{{CM}}{{AC}}\)
Mà \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\)
Suy ra \(\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC\left( {BC - 5} \right)}}{{B{C^2} - 25}}\)
Suy ra BC(BC – 5) = 36
Hay BC2 – 5BC – 36 = 0
Suy ra BC = 9 (do BC > 0).
b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.
Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao
Suy ra tam giác BCK cân tại B
Do đó BH là trung tuyến và BK = BC
Hay \[CH = HK = \frac{1}{2}CK\]
Đặt BC = x
Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB
Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat {BKC}\))
Mà \(\widehat {ABM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {HCM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Ta có \(\widehat {HCI} = \widehat {HCM} + \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)
Xét tam giác ICH vuông ở H có
\(\widehat {HIC} + \widehat {HCI} = 90^\circ \) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {HCI} = 45^\circ \) nên \(\widehat {HIC} = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HCI} = \widehat {HIC}\)
Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC
Xét tam giác ICH vuông ở H có
IC2 = HI2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay 10 = 2HI2 (do \(IC = \sqrt {10} \))
Suy ra \[HI = HC = \sqrt 5 \]
Ta có \[BH = BI + IH = \sqrt 5 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \];
\[CK = 2CH = 2\sqrt 5 \]
Xét tam giác BCH vuông ở H có
BC2 = HB2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay BC2 = 20 + 5
Suy ra BC = 5.
Xét tam giác BCA vuông ở A có
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pytago)
Hay 52 = AB2 + AC2 = 25
Xét tam giác AKC vuông ở A có
KC2 = AK2 + AC2 (định lí Pytago)
⇔ 20 = (BC – AB)2 + AC2
⇔ 20 = (5 – AB)2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + AB2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + 25
⇔ AB = 3
Khi đó \(AC = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
Vậy AB = 3, AC = 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)