Số giá trị của a để hệ phương trình: xy + x + y = a + 1 và x²y + xy² = a có nghiệm duy nhất.

Đặt x + y = u, xy = v

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = a + 1\\uv = a\end{array} \right.\)

Khi đó u, v là hai nghiệm của phương trình

X² – (a + 1)X + a = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 1\\X = a\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = a\\v = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = a\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\xy = a\end{array} \right.\)

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình

M² – M + a = 0                         (1)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép

⇔ D = 0

⇔ 1 – 4a = 0

\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)

+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}u = a\\v = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\xy = 1\end{array} \right.\)

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình

N² – aN + 1 = 0                        (2)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm kép

⇔ D = 0

⇔ a² – 4 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a \in \left\{ {\frac{1}{4};2; - 2} \right\}\) .