Cho tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao BD, CE.

a) Chứng minh rằng: ∆ADB đồng dạng với ∆AEC.

b) Chúng minh rằng: ∆ADE đồng dạng với ∆ABC.

c) Vẽ EF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng: AE.DF = AF.BE.

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các doạn thắng BD, CE. Chứng minh rằng: Hai góc BAC và MAN có chung tia phân giác.

a) Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC (g.g)

b) Vì tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC (câu a) nên ta có:

\(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Xét tam giác ADE và tam giác ABC có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (cmt)

Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)

c) Ta có:

EF vuông góc với AC

BD vuông góc với AC

Do đó, EF song song với BD

Xét tam giác ADB có:

EF song song với BD

Do đó, \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AF}}{{FD}}\) (định lý Talet)

Hay: AE. FD = AF.BE

d)

M là trung điểm BD nên BD = 2MB

N là trung điểm CE nên CE = 2NC

Vì tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC (câu a)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{EC}} = \frac{{MB}}{{NC}}\).

Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE. 

Xét tam giác HEB và tam giác HDC có:

\(\widehat {HEB} = \widehat {HDC} = 90^\circ \)

\(\widehat {EHB} = \widehat {DHC}\) (đối đỉnh)

Do đó, tam giác HEB đồng dạng với tam giác HDC (g.g)

Nên: \(\widehat {EBD} = \widehat {DCE}\) (2 góc tương ứng)

Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{NC}}\)

Tam giác AMB đồng dạng với tam giác ANC (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {CAN}\)

Do đó, hai góc BAC và góc MAN có cùng tia phân giác.