Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \)

Điều kiện xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\)⇔ x ≥ 0

Tập xác định: D = [0; +∞)

\(\sqrt {x + 1} + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - \sqrt {3x} = 4{x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {3x} } \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} } \right)}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = 4{x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 1 - 3x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \left( {2x - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - \left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1} \right) = 0\)

Với \(\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1 > 0\forall x \in D\)

⇒ 1 – 2x = 0

⇔ 2x = 1

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).