Câu hỏi:

11/07/2024 5,793

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:

a) CD // OA.

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là (ảnh 1)

a) Ta có: OD = OB và D, B, C Î (O; R)

Suy ra tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Þ \(\widehat {DCB} = 90^\circ \) hay CD ^ BC

Mặt khác OH ^ BH (giả thiết)

Þ DC // OH mà H Î OA nên DC // OA

b) Xét ∆OBH và ∆OCH có:

OH: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \) (giả thiết)

Do đó ∆OBH = ∆OCH (cạnh huyền - cạnh góc nhọn)

\( \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH}\) (Hai góc tương ứng)

Xét ∆OBA và ∆OCA có:

AO: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) (cmt)

Do đó ∆ABO = ∆ACO (c.g.c)

Þ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\) (Hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

Nên \(\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \) và C Î AC; C Î (O; R)

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

c) Ta có: \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\;\left( {cm} \right)\) và R = 15 (cm) nên

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác OAB vuông tại B ta có:

+) \(\frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{12}^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B{A^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\)

\( \Rightarrow BA = 20\;\left( {cm} \right)\)

+) \(AB\,.\,OB = BH\,.\,OA \Leftrightarrow OA = \frac{{AB\,.\,OB}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow OA = \frac{{20\,.\,15}}{{12}} = 25\;\left( {cm} \right)\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.

a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AD.AC = DH.AB

c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác (ảnh 1)

a) Ta có :

DI vuông CD (gt) Þ \(\widehat {IDC} = 90^\circ \)

CK vuông KI (gt) Þ \(\widehat {IKC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {IDC} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)

Mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CI

Suy ra CDIK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ góc \(\widehat {KCB}\))

Xét ∆HCD và ∆ABC có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cmt )

\(\widehat {HDC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HCD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{HD}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ )

Mà BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{HD}}\)

Suy ra AD.AC = DH.AB (đpcm)

c) Gọi giao điểm của BN với AD là F'.

Ta có: AC là tiếp tuyến của (I;ID) nên \(\widehat {CDM} = \widehat {CBD} = \widehat {ABD}\)

\( \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {CDB} - \widehat {CDM} = \widehat {CDB} - \widehat {ABD} = \widehat {CAB}\)

Mà \(\widehat {MDB} = \widehat {MNB} = \widehat {ANF'} \Rightarrow \widehat {ANF'} = \widehat {CAB}\)

Từ đó ∆F'AN ᔕ ∆F'BA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{F'A}}{{F'N}} = \frac{{F'B}}{{F'A}} \Rightarrow F'{A^2} = F'B\,.\,F'N\)

Mặt khác, vì F'D là tiếp tuyến của (I, ID) nên F'D² = F'B.F'N

Þ F'A = F'D Þ F' ≡ F.

Từ đó ta có đpcm.

Câu 2

Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;

Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!

Câu 3