Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:

a) CD // OA.

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.

a) Ta có: OD = OB và D, B, C Î (O; R)

Suy ra tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Þ \(\widehat {DCB} = 90^\circ \) hay CD ^ BC

Mặt khác OH ^ BH (giả thiết)

Þ DC // OH mà H Î OA nên DC // OA

b) Xét ∆OBH và ∆OCH có:

OH: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \) (giả thiết)

Do đó ∆OBH = ∆OCH (cạnh huyền - cạnh góc nhọn)

\( \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH}\) (Hai góc tương ứng)

Xét ∆OBA và ∆OCA có:

AO: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) (cmt)

Do đó ∆ABO = ∆ACO (c.g.c)

Þ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\) (Hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

Nên \(\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \) và C Î AC; C Î (O; R)

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

c) Ta có: \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\;\left( {cm} \right)\) và R = 15 (cm) nên

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác OAB vuông tại B ta có:

+) \(\frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{12}^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B{A^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\)

\( \Rightarrow BA = 20\;\left( {cm} \right)\)

+) \(AB\,.\,OB = BH\,.\,OA \Leftrightarrow OA = \frac{{AB\,.\,OB}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow OA = \frac{{20\,.\,15}}{{12}} = 25\;\left( {cm} \right)\)