Câu hỏi:

27/04/2023 1,686

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:

a) CD // OA.

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là  (ảnh 1)

a) Ta có: OD = OB và D, B, C Î (O; R)

Suy ra tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Þ \(\widehat {DCB} = 90^\circ \) hay CD ^ BC

Mặt khác OH ^ BH (giả thiết)

Þ DC // OH mà H Î OA nên DC // OA

b) Xét ∆OBH và ∆OCH có:

OH: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \) (giả thiết)

Do đó ∆OBH = ∆OCH (cạnh huyền - cạnh góc nhọn)

\( \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH}\) (Hai góc tương ứng)

Xét ∆OBA và ∆OCA có:

AO: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) (cmt)

Do đó ∆ABO = ∆ACO (c.g.c)

Þ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\) (Hai góc tương ứng)

\(\widehat {ABO} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

Nên \(\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \) và C Î AC; C Î (O; R)

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

c) Ta có: \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\;\left( {cm} \right)\) và R = 15 (cm) nên

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác OAB vuông tại B ta có:

+) \(\frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{12}^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B{A^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\)

\( \Rightarrow BA = 20\;\left( {cm} \right)\)

+) \(AB\,.\,OB = BH\,.\,OA \Leftrightarrow OA = \frac{{AB\,.\,OB}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow OA = \frac{{20\,.\,15}}{{12}} = 25\;\left( {cm} \right)\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.

a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AD.AC = DH.AB

c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.

Xem đáp án » 27/04/2023 12,899

Câu 2:

Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.

Xem đáp án » 27/04/2023 8,572

Câu 3:

Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (3m – 2)x + m – 2 (với m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được

b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm m để diện tích ∆OAB bằng \(\frac{1}{2}\).

Xem đáp án » 27/04/2023 3,479

Câu 4:

Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): y = mx + 2.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

Xem đáp án » 27/04/2023 2,211

Câu 5:

Cho hàm số y = 2x + 3 và \(y = \frac{{ - 1}}{2}x - 2\).

a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ của điểm C của 2 đồ thị trên.

c) Tính diện tích tam giác ABC biết A, B lần lượt là giao điểm của 2 đường thẳng trên trục tung.

Xem đáp án » 27/04/2023 1,899

Câu 6:

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Xem đáp án » 27/04/2023 1,819

Câu 7:

Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm trên (P) những điểm cách đều hai trục tọa độ (không trùng với O).

c) Tìm trên (P) những điểm có tung độ bằng \(\frac{9}{2}\).

Xem đáp án » 27/04/2023 1,799

Bình luận


Bình luận